Ma’ruza-2: Akslantirishlar

2. Toʻplamlarning quvvati. Sanoqli toʻplamalar.

Elementlarning soni chekli boʻlgan toʻplam chekli toʻplam deyiladi. Agar toʻplamdan bitta, ikkita va hokazo elementlarni olganda unda yana koʻplab elementlar qolaversa, u holda bunday toʻplamlarga cheksiz toʻplamlar deyiladi.

1-ta’rif. Agar va toʻplamlar orasida oʻzaro bir qiymatli moslik oʻrnatish mumkin boʻlsa, u holda va toʻplamlar ekvivalent yoki teng quvvatli toʻplamlar deyiladi va kabi yoziladi.
2-ta’rif. Biror toʻplamning elementlari orasida berilgan qandaydir “~” munosabat
1) refleksivlik:
2) simmetriklik: boʻlsa u holda boʻladi;
3) tranzitivlik: boʻlsa, u holda kabi shartlarni qanoatlantirsa, toʻplamda ekvivalentlik munosabati berilgan deyiladi.
1-teorema. Toʻplamlar orasidagi teng quvvatlilik munosabati ekvivalentlik munosabati boʻladi.
Isbot. Ta’rifdagi 1-3 tasdiqlardan quyidagi xossalar oʻrinliligi kelib chiqadi:

1. 
   
   
2. 
   Agar boʻlsa, u holda
   
3. 
   Agar va boʻlsa, u holda
   

Bu esa teng quvvatlilik munosabati refleksivlik, simmetriklik va tranzitivlik xossalariga ega, ya’ni ekvivalentlik munosabati ekan. Teorema isbot boʻldi.
Agar va elementlari soni chekli boʻlgan toʻplamlar boʻlsa, ularning
ekvivalentligi elementlari soni tengligi bilan bir xil boʻladi.
Cheksiz toʻplamlar ichida eng soddasi bu sanoqli toʻplamdir.
3-ta’rif. Agar toʻplam bilan natural sonlar toʻplami orasida oʻzaro bir qiymatli moslik oʻrnatilish mumkin boʻlsa, ga sanoqli toʻplam deyiladi.
Sanoqli toʻplamning quvvati (alef-nol) bilan belgilanadi.
Sanoqli toʻplamlarga misollar keltiramiz.
1-misol. Butun sonlar toʻplami sanoqlidir. va orasidagi oʻzaro bir qiymatli moslik
, =
kabi oʻrnatiladi.
2- misol. Barcha juft natural sonlar va orasidagi oʻzaro bir qiymatli moslik formula orqali oʻrnatiladi.
3- misol. Barcha ratsional sonlar toʻplami sanoqlidir.
Isboti. Har bir ratsional son yagona usul bilan
,
qisqarmas kasr koʻrinishida yoziladi. Ushbu ratsional son uchun uning balandligi deyiladi. Ravshanki, berilgan balanlikka ega boʻlgan ratsional sonlar cheklita. Masalan,
1 balandlikka faqat son ega , 2 balanlikka faqat va sonlari ega, 3 balanlikka esa , sonlari ega va hokazo.
Barcha ratsional sonlarni ularning balandliklari oʻsib borish tartibida joylastiramiz, ya’ni dastlab balandligi 1 ga teng son, keyin balandligi 2 ga teng sonlar, undan keyin balandligi uchga teng sonlar yoziladi va hokazo. Bu tartiblashda har bir ratsional son aniq bir nomerga ega boʻladi, ya’ni
Sanoqli toʻplamlarning ba’zi umumiy xossalarini keltiramiz.
1- xossa. Sanoqli toʻplamlarning ixtiyoriy qism toʻplami chekli yoki sonoqlidir.
Isbot. Faraz qilaylik, sanoqli toʻplam, esa uning qism toʻplami boʻlsin, ya’ni ning ga tegishli elementlari lar boʻlsin.
Agar sonlar ichida eng kattasi mavjud boʻlsa, u holda chekli toʻplam boʻladi, aks holda sanoqli toʻplam boʻladi, chunki uning elementlari natural sonlar bilan belgilangan.
2-xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli toʻplamlar birlashmasi yana sanoqli toʻplamdir.
3-xossa. Har qanday cheksiz toʻplam sanoqli qism toʻplamga ega.
Isbot. Aytaylik, cheksiz toʻplam boʻlsin. Undan ixtiyoriy elementni tanlaymiz. cheksiz toʻplam boʻlgani uchun unda dan farqli elementni tanlash mumkin, undan keyin va dan farqli elementni tanlaymiz, cheksiz toʻplam boʻlgani uchun bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin. cheksiz toʻplam boʻlgani uchun har bir element tanlanganidan keyin unda cheksiz koʻp element qoladi. Natijada sanoqli qism toʻplamga ega boʻlamiz.
Bundan, sanoqli toʻplamlar cheksiz toʻplamlar ichida eng minimali boʻladi deb aytish mumkin.