Ma’ruza 12 Differensial tenglamalarga olib keladigan ba’zi bir masalalar. Diffеrеnsial tеnglama ta’rifi. Diffеrеnsial tеnglamalarning xususiy va umumiy yechimlari. Koshi masalasi. O’zgaruvchilarga ajraladigan

2. Birinchi tartibli differensial tenglamalar.

B

3
irinchi tartibli differensial tenglamalarning umumiy ko’rinishi

F (x, y, y^/) = 0 (6)

kabi bo’ladi. (6) ning umumiy ko’rinishdagi yechimi quyidagicha bo’ladi:

φ (x, y, C,) = 0 (7)

Birinchi tartibli differensial tenglamalarning turlarini qarab chiqaylik.

1. Eng soda ko’rinishdagi differensial tenglama

shaklda bo’ladi. Uning umumiy yechimi

dy = ƒ(x) dx

y=φ∫ ƒ(x)dx + C (9)

ko’rinishda bo’ladi.

3. O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar.³

(6) tenglamani quyidagi ko’rinishda ham yozsak bo’ladi:

M(x, d) dx + N(x, y) dy = 0 (10)

bu yerda M (x, y) va N (x, y) funksiyalar x va y ga bog’liq bo’lib, quyidagi ko’rinishlarda bo’lishi mumkin:

1. 
   M (x, y) = M (x), N(x, y) = N (y) bo’lsin. U holda (10) tenglama
   

M (x) dx = N (y) dy= 0 (11)

ko’rinishda bo’lib

∫ N (y)dy = - ∫ M (x) dx

bo’ladi. Bu yerda ∫ N (y)dy = φ(y)² ∫ M (x)dx = φ₂(x) deb belgilasak, φ₁(y) = φ₂(x) + C₂ funksiya berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.

M (x, y) = M₁(x) M₂(y); N(x, y) = N₁(x) ∙ N₂(y) bo’lsin.

U holda (10) tenglamaning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

M₁(x)M₂(y) dx + N₁(x) ∙ N₂(y) dy = 0. (12)

O’zgaruvchilarni ajratamiz:

integrallab, umumiy yechimni topiladi.

(11) va (12) tenglamalar o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deyiladi.