Ma’ruza 12 Differensial tenglamalarga olib keladigan ba’zi bir masalalar. Diffеrеnsial tеnglama ta’rifi. Diffеrеnsial tеnglamalarning xususiy va umumiy yechimlari. Koshi masalasi. O’zgaruvchilarga ajraladigan

5. Bir jinsli differensial tenglamalarga misollar.

Misol. (x² – 2xy)dy – (xy – y²)dx=0.

y = xu almashtirish kiritamiz:

dy = xdu+udx.

Bularni keltirib tenglamaga qo’yamiz va soddalashtiramiz:

(x² – 2x∙xu)(xdu+udx) – (xxu – x²u²)dx = 0

x(1 – 2u)du+(1 – 2u)udx = (u – u²)dx

x(1 – 2x)du = u²dx.

O’zgaruvchilarni ajratamiz:

Ikkala tomonidan integral olamiz:

₅

Bu tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.

Eslatma. C ixtiyoriy son bo’lgani uchun differensial tenglamaning umumiy yechimi C ga nisbatan har xil ko’rinishda bo’lishi mumkin:

ko’rinishdagi differensial tenglamalarni x=x₁+α, y=y₁+β almashtirishni bajarib, bir jinsli tenglamaga keltirish mumkin. Bu yerda α va β lar

aα + bβ +C = 0

a₁α + b₁β +C₁ = 0

tengliklar o’rinli bo’ladigan qilib tanlab olinadi.