Ma’ruza 12 Differensial tenglamalarga olib keladigan ba’zi bir masalalar. Diffеrеnsial tеnglama ta’rifi. Diffеrеnsial tеnglamalarning xususiy va umumiy yechimlari. Koshi masalasi. O’zgaruvchilarga ajraladigan

Misollar. 1. (x – 1) dx + ydy=0.

Yechish: (x – 1) dx = - ydy.

Ikkala tomonidan integral olsak,

∫ (x – 1) dx = - ∫ ydy,



x² – 2x + y² + C₁ = 1 (C₁= - 2C).

Bu funksiya berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.

2.

Yechish: Tenglamadan:

O’zgaruvchilarni ajratamiz:

Tenglamani integrallaymiz:

∫

ln (y+1) = ,

y+1=C

Demak, berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi y = C bo’ladi.

4. Bir jinsli tenglamalar.

Agar t ning har qanday qiymatida

M (tx, ty) = t^kM(x,y)

Ayniyat o’rinli bo’lsa, M (x,y) funksiya x va y o’zgaruvchilarga nisbatan k o’lchivli bir jinsli funksiya deyiladi. Masalan,

funksiyalarbir jinsli funksiyalardir.

Agar (10) tenglamada M (x, y) va N (x, y) funksiyalar 0 o’lchovlibir jinsli funksiyalardan iborat bo’lsa, (10) tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi. Bir jinsli differensial tenglamalarni yechish uchun y = ux almashtirish kiritamiz. U holda bo’ladi. Buni keltirib (10) tenglamaga qo’ysak, o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama hosil bo’ladi.

Eslatma. (10) tenglamani ko’rinishda ham yozish mumkin.

P(x,y) 0 o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lganligi uchun bo’lib, almashtirish bajaramiz.