Маъруза №1. Компьютер графикасига кириш

Маъруза11 . Марказий (перспектив) проекциялар

• 
  Мақсад: Геометрик проекцияларни, хусусан марказий проекцияларни ўрганиш.
  
• 
  Калит сўзлари: Геометрик проекциялар, бир нуқтали проекциялар, икки нуқтали, уч нуқтали проекциялар.
  

Режа:

• 
  1. Геометрик проекциялар
  
• 
  2. Бир нуқтали проекциялар
  
• 
  3. Икки нуқтали проекциялар
  
• 
  4. Уч нуқтали проекциялар
  

Lecture11 . Central (perspective) projections

• 
  Objective : study of geometric projections, namely the central projections.
  
• 
  Key words : Geometric projections, one-point projections, two-point projections, Three-point projections.
  

Plan:

• 
  1. Geometric projections
  
• 
  2. One-point projections 3. Two-point projections
  
• 
  4. Three-point projections
  

Умуман олганда проекция n ўлчовли координаталар системасида берилган нуқталарни n дан кичик ўлчамга эга координаталар системасига алмаштиради.
Уч ўлчамдан икки ўлчамга проекциялашни кўриб чиқамиз. Уч ўлчовли объектни (нуқталар тўплами кўринишида берилган) проекцияси проектор деб аталувчи ва объектнинг ҳар бир нуқтасидан ўтувчи тўғри проекцион нурлар ёрдамида қурилади ва улар картина текислигини кесиб ўтиб проекцияни ҳосил қилади.

Келтирилган усулда аниқланган проекциялаш синфи текис геометрик проекциялар номи билан юритилади. Бунга сабаб, проекциялаш эгри чизиқли сиртда эмас текисликда амалга оширилганлигида ва проекторлар сифатида эгри чизиқлар эмас, тўғри чизиқлардан фойдаланилмоқда.
Марказий проекция проекция текислигига парраллел бўлмаган ихтиёрий параллел тўғри чизиқлар мажмуаси тушиш нуқтасига келиб тушади. Тушиш нуқталари чексиз кўп бўлади. Агарда тўғри чизиқлар мажмуаси асосий координата ўқларидан бирортасига параллел бўлса, у ҳолда уларнинг тушиш нуқтаси асосий тушиш нуқтаси деб аталади. Проекция текислиги билан асосий координата ўқларининг кесишишига мос фақат учта шундай нуқта мавжуд. Марказий проекция асосий тушиш нуқталари сонига боғлиқ ҳолда классификацияланади.
_1. Бир нуқтали проекция (3.13-расм).

_3.13-расм. Бир нуқтали перспектива

• 
  2. Икки нуқтали проекция архитектура, муҳандислик ва саноат лойиҳаларида кенг ишлатилади.
  
• 
  3. Уч нуқтали марказий проекция деярли умуман ишлатилмайди, чунки биринчидан уларни конструкциялашнинг мураккаблиги, иккинчидан икки нуқтали проекция билан солиштирганда реаллик нуқтаи назаридан кам фарқланади.
  

А(а,0) нуқта проекциялаш маркази сифатида танланган бўлсин ва ихтиёрий M0(x0,y0) нуқтанинг Оy ордината ўқидаги проекциясини аниқлаш талаб қилинсин (35-расмга қаралсин). Проекцияловчи тўғри чизиқ L қуйидаги тенглама билан ифодаланади:
x  a t(x₀  a)

_y  ty₀

М0 нуқтанинг проекцияси M*(0,y*) нуқта бўлади,
бу ерда ,
ва алмашаштириш матрицаси мос келади:

• 
  Уч ўлчовли фазо бўлган ҳолда перспектив алмаштиришлар мос ҳолда қуйидагича ифодаланади: М (x,y,z) нуқта қуйидаги устун билан ифодаланади:
  
• 
  ёки
  

Фараз қиламизки проекция маркази Z ўқида ётиб
C(0,0,c) нуқтада жойлашган бўлсин. Проекция текислиги XY текислиги билан устма-уст жойлашган бўлсин. Проекция марказидан проекция текисликигача масофа c га тенг. Фазода M(x,y,z) нуқта оламиз ва уни марказ билан туташтирувчи тўғри чизиқ ўтказамиз. Ушбу тўғри чизиқни параметрик тенгламасини тузамиз:

• 
  M(x,y,z) проекциясининг координаталари
  

• 
  Ушбу натижани проекция маркази C(0,0,c) ва M(x,y,z) нуқтани туташтирувчи тўғри чизиқ тенгламасидан ҳам олиш мумкин, яъни
  

Марказий (перспектив) проекциялаш

• 
  Бир нуқтали марказий проекция
  

бу ерда с – проекция текислигидан проекция марказигача бўлган масофа.

1  0 P0  0 

0 1 0 0

0 0 0 1  с

0  0 0  1 

Марказий (перспектив) проекциялаш

Умуман олганда марказ нуқтаси учта бўлиши мумкин ва бу ҳолда алмаштириш матрицаси

 1   0 P  0  1 

0 1 0 1

0 0 1 1

0  0 0  1

  
 a b c 