Маъруза №1. Компьютер графикасига кириш

Маъруза №8. Геометрик сплайнлар. Эрмит, Безье, Всплайн эгри чизиқлари.
Максад: Геометрик сплайнларни ўрганиш.
Калит сўзлари: Сплайн эгри чизиқлари, Эрмит, Безье, Всплайн.
Режа:

1. 
   Геометрик сплайнлар
   
2. 
   Эрмит функцияси
   
3. 
   Безье функцияси
   
4. 
   В-сплайн функцияси
   

Lecture №5. The geometrical splines. Hermite, Bézier, B-spline curves
Objective : studying of the geometrical splines Key words: B-spline curves, Hermite curve, Bézier curves.
Plan:

1. 
   The geometrical splines
   
2. 
   Hermite functions
   
3. 
   Bézier functions
   
4. 
   B-spline functions
   

Сплайнлар назарияси 1946 йилда Шенбергнинг ишларида пайдо бўлган. Бу усуллар берилган нуқталар бўйича сиртни тасвирлашни эгри чизиқли аппроксимациялашдир. Сиртни тасвирлашнинг бу ёндашуви асосида объект ташқи кўринишини берилган аниқликда тиклашга имкон берувчи мураккаб бўлмаган формуладан фойдаланиш ётади.

Масаланинг умумий формулировкаси

Текисликда (2D) ёки фазода (3D) берилган нуқталар массиви бўйича ё бу нуқталарнинг ҳаммасидан ўтувчи (интерполяция масаласи) ёки бу нуқталарнинг етарлича яқинидан ўтувчи (силлиқлаш масаласи) эгри чизиқ қуриш.
Эгри чизиқни вектор параметрик шакли: r=r(t)=(x(t), у(t), z(t)), 0≤t≤1.
Параметрик 3-чи даражали (кубик) эгри чизиқнинг тенгламасини қуйидагича кўринишда ёзилади:
x(t)  a_xt³ b_xt² c_xt  d_x y(t)  a_yt³ b_yt² c_yt  d_y,0  t 1 z(t)  a_zt³ b_zt² c_zt  d_z

Эрмит эгри чизиғи

• 
  Эрмит эгри чизиғи бошланғич ва охирги нуқталари Р1, Р2 ва ушбу нуқталардаги эгри чизиққа уринма векторининг йўналишлари R1 ва R2 билан берилади:
  

T  t³ t² t 1

• 
  R(t)=T Mэ Pэ, 0≤t≤1
  

 2 2 1 1 
 
бу ерда: Параметрик вектор M_э_03 03 12 01_
 

• 
  Эрмит матрицаси Эрмит вектори  1 0 0 0 
  

 P₁ 
 
P₂ 
РэR₁ 
R₂ 

Эрмит эгри чизиғи

Безье эгри чизиғи

• 
  Безье эгри чизиғи Р1, Р2, Р3,Р4 нуқталар ёки Р=(Р1, Р2, R1, R2), орқали берилади
  
• 
  R(t)=T Mб Pб, 0≤t≤1
  
• 
  бу ерда: Параметрик вектор T  t3 t2 t 1 P1 
  

 

• 
  Безье матрицаси Безье вектори Рб PP23 
  

1 3 3 1 
 3 6 3 0 P4 
Mб _3 3 0 0_
 
 1 0 0 0

Безье эгри чизиғи

Безье эгри чизиғи

Безье эгри чизиғи вектор параметрик тенгламаси:
r(t)  (1- t)³P₁  3t(t -1)² P₂  3t ² (1- t) P₃  t³P₄

В-сплайн эгри чизиғи

• 
  P1,P2,P3 ва P4 нуқталари билан аниқланувчи В-сплайн кубик эгри чизиғи тенгламаси қуйидаги кўринишда
  
• 
  R(t)=T Mb Pb, 0≤t≤1 бу ерда: b-сплайн матрицаси
  

1  Mb 1/633   1 

3 6 0 4

3 3 3 1

1  0 0  0

В-сплайн эгри чизиғи

В-сплайн эгри чизиғи вектор параметрик кўринишда:
(1t)³ 3t³ 6t² 4 3t³ 3t² 3t 1 t³
r(t) P₁  P₂  P₃  P₄
6 6 6 6
Эътиборингиз учун рахмат!
Маъруза №9. Сплайн сиртлари.
Безье,
В-сплайн сиртлари
Мақсад: Геометрик сплайн сиртларни ўрганиш
Калит сўзлари: Сплайн сиртлари. Эрмит, Безье, Всплайн
Режа:

1. 
   Геометрик сплайнлар
   
2. 
   Безье сиртлари
   
3. 
   В-сплайн сиртлари
   

Lecture №6. Spline surfaces.
Hermite, Bézier, B-spline surfaces
Objective : studying of the geometrical spline surfaces Key words: Spline surfaces, Hermite surfaces, Bézier surfaces, B-spline surfaces.
Plan: 1. The geometrical splines

2. 
   Hermite surfaces.
   
3. 
   Bézier surfaces.
   
4. 
   B-spline surfaces.
   

• 
  Сплайнлар назарияси 1946 йилда Шенбергнинг ишларида пайдо бўлган. Бу усуллар берилган нуқталар бўйича сиртни тасвирлашни эгри чизиқли апроксимациялашдир.
  
• 
  Сиртни тасвирлашнинг бу ёндашуви асосида объект ташқи кўринишини берилган аниқликда тиклашга имкон берувчи мураккаб бўлмаган формуладан фойдаланиш ётади.
  

Масаланинг умумий формулировкаси: текисликда (2D) ёки фазода (3D) берилган нуқталар массиви бўйича ё бу нуқталарнинг ҳаммасидан ўтувчи (интерполяция масаласи) ёки бу нуқталарнинг етарлича яқинидан ўтувчи (силлиқлаш масаласи) эгри чизиқ қуриш.

• 
  Текисликда (x_i,y_i), i = 0,1,…,m нуқталар мажмуаси шундай берилганки, x₁2<_…m-1m, , яъни координаталар абсцисса ўқи бўйлаб ўсиш тартибида
  

номерланган.

• 
  Маълумки, графиги барча (x_i,y_i) нуқталардан ўтувчи Лагранж интерполяция
  

полиноми мавжуд:
	𝐿𝑚 𝑥	𝑚 𝜔𝑚(𝑥) = ෍ 𝑦𝑖

(𝑥 − 𝑥_𝑖)𝜔_𝑚(𝑥_𝑖)
𝑖=0
𝑚
𝜔_𝑚 𝑥 = ෑ(𝑥 − 𝑥_𝑗)
𝑗=0
0 0

Ўзининг коэффициентлари билан бир қийматли ифодаланувчи полином дастурлаш учун жуда қулай, бироқ қўллашда камчиликлари мавжуд:

• 
  полиномнинг даражаси нуқталар сонидан биттага кам ва нуқталар сони қанча кўп бўлса полином даражаси шунча юқори бўлади;
  
• 
  битта нуқтанинг координатасини ўзгариши полином коэффициентларини тўлиқ қайта ҳисоблашни талаб қилади.
  

Сплайн қуйидаги хоссаларга эга:

• 
  функция графиги берилган массивнинг ҳар бир нуқтасидан ўтади S(x_i) = y_i, i = 0,1,…,m;
  
• 
  қуйидаги ҳар бир оралиқда
  

[x_i, x_i+1], i = 0,1,…,m-1
функция учинчи тартибли кўпҳад бўлади
3
𝑆 𝑥 = ෍ 𝑎_𝑗^𝑖(𝑥 − 𝑥_𝑖)^𝑗
𝑗=0
Берилган барча оралиқда [x0,xm] S(x) функция узлуксиз ҳосилага эга.

• 
  Фазовий масалалар учун худди шундай бикубик интерполяция сплайнини оламиз
  

3
𝑖𝑗
𝑆 𝑥, 𝑦 = ෍ 𝑎_𝑙𝑘 (𝑥 − 𝑥_𝑖)^𝑙(𝑦 − 𝑦_𝑗)^𝑘
𝑙,𝑘=0

• 
  Регуляр сиртлар деб координаталари фазода қуйидаги параметрик тенглама билан аниқланувчи M(x,y,z) нуқталар тўпламига айтилади x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (u,v)  D, бу ерда x(u,v), y(u,v), z(u,v) –ўз аргументларининг силлиқ функцияси,
  
• 
  D – u ва v параметрларнинг текисликдаги соҳаси
  

• 
  Бундай сирт қуйидаги вектор тенглама билан ифодаланади r(u,v) =r(x(u,v), y(u,v), z(u,v))
  

(u,v)  D

Фазода V_ij , i = 0,1,…,m, j = 0,1,…,n. нуқталар берилган бўлсин.

Мос учларни тўғри чизиқ кесмалари билан бирлаштириб, V тўпламнинг назорат кўпёғини (нуқтали, таянч графи) ҳосил қиламиз.

Силлиқловчи сирт қуйидаги параметрик тенглама билан ифодаланади

Ёки қуйидаги кўринишда

Элементар бикубик Безье сирти

ёки матрица кўринишида

Элементар B-сплайн сиртлар

функциональ коэффициентлар В-сплайн эгри чизиқлари каби аниқланади, яъни

Бу ерда

Матрица кўринишида

• 
  r(u,v) = U^T M^T W M V,
  

бу ерда М – кубик В-сплайннинг базис матрицаси.

• 
  В-сплайн эгри чизиғи мероси каби асосий хоссалари:
  

• 
  Силлиқ сирт бўлади;
  
• 
  16 та уч (нуқта) билан аниқланувчи қавариқ қобиқда ётади;
  
• 
  Назорат кўпёқли сиртни такрорлайди.
  

• 
  Агарда сплайнлар қуришнинг маълум усулларини кўрсак, у ҳолда сиртлар бир хил номланувчи эгри чизиқларнинг хоссаларини мерос олади.
  
• 
  Силлиқловчи сиртларни қуриш элементар фрагментларни қуриш асосида амалга оширилади.
  

Безье кубик сирти

• 
  Безье кубик сиртлари фазода 16 та нукта билан аниқланади:
  
• 
  Pij, i=1,2,3,4, j=1,2,3,4.
  

Эътиборингиз учун рахмат!