ma’ruza ( soat)

2.5.Yaqinlashuvchi ketma-ketlik tushunchasi. Agar (2.3) ketma-ketlikning limitik nuqtasi yagona bo’lsa, u holda u yaqinlashuvchi deyiladi.Ya’ni (2.3) ketma-ketlikning nuqtalari bitta nuqta atrofida to’plansa, bunday ketma-ketlik yaqinlashuvchi deyiladi. Shunday qilib, chegaralangan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun u yagona limitik nuqtaga ega bo’lishi lozim, ya’ni son uchun nomer topilib, lar uchun tengsizlik bajarilsa u holda (2.3) ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti ga teng deyiladi hamda kabi belgilanadi. Geometrik nuqtai nazardan bu ta’rifni quyidagicha ifodalash mumkin: nuqtaning har qanday atrofida (2.3) ketma-ketlikning ma’lum nomerdan boshlab barcha nuqtalari yotsa, u holda u nuqtaga intiladi deyiladi.


2.6. Limitlar nazariyasining asosiy teoremalari. Faraz qilaylik, bizga ikkita
(2.3)
va
(2.4)
kompleks sonli ketma-ketliklar berilgan bo’lsin. Bu ketma-ketliklardan foydalanib quyidagi
(2.5)
kompleks sonlar ketma-ketligini tuzamiz. Bu yerda

yoki

yoki
.
Agar (2.3) va (2.4) ketma-ketliklar mos ravishda limitlarga intilsa, u holda (2.53) ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lib, uning limiti mos ravishda

ga teng boladi. Boshqacha aytganda,
.
Bu teoremalarning isboti haqiqiy sonlar limitlari nazariyasidagi xuddi shu kabi teoremalar isboti kabidir.
2.7.Koshi alomati. Faraz qilaylik, bizga
(2.3)
kompleks sonli ketma-ketlik berilgan bo’lsin.
2.3-Teorema (Koshi alomati). (2.3) ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun son uchun shunaqa nomer topilib, barcha natural sonlar uchun

tengsizlikning bajarilishi zarur va etarlidir.
Geometrik nuqtai nazardan bu teoremani quyidagicha bayon qilish mumkin: (2.3) nuqtalar ketma-ketligining yaqinlashuvchi bo’lishi uchun son uchun shunaqa nomer topilib, shu nomerdan boshlab (2.3) ketma-ketlikning barcha nuqtalarining markazi nuqtadan iborat radiusli doiraning ichida yotishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zaruriyligi. (2.3) ketma-ketlikni yaqinlashuvchi,ya’ni deb, tengsizlikning bajarilishini isbotlashimiz kerak.(2.3) ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa,u holda son qanday bo’lmasin shunday nomer topilib, uchun tengsizlik bajariladi. U holda barcha va uchun

tengsizlikni olamiz.
Yetarliligi. Faraz qilaylik, Koshi sharti bajarilsin.Ya’ni son uchun shunaqa nomer topilib, shu nomerdan boshlab (2.3) ketma-ketlikning barcha nuqtalari nuqtaning atrofida joylashsin.U holda (2.3) ketma-ketlik chegaralangan bo’ladi. Bolsano-Veyershtras teoremasidan bu ketma-ketlikning kamida bitta limitik nuqtaga ega ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik, (2.3) ning limitik nuqtalari ikkita har xil va nuqtalardan iborat bo’lsin.Ular orasidagi masofani bilan belgilab, ni deb tanlaymiz. Bu uchun ham Koshi sharti bajariladi: shunaqa nomer topilib,barcha uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi, ya’ni doiraning tashqarisida (2.3) ketma-ketlikning faqat cheklita nuqtalari yotishi mumkin.U holda va limitik nuqtalar shu doiraning yo ichkarisida,yoki chegarasida joylashadi, ya’ni bo’ladi. Bu esa ning tanlanishiga ziddir. Bu qarama-qarshilik (2.3) ketma-ketlikning limitik nuqtalari ikkita har xil deyilgan farazimiz noto’g’ri ekanligini bildiradi. Demak, (2.3) ketma-ketlik chegaralangan va yagona limitik nuqtaga ega, ya’ni u yaqinlashuvchidir.