Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

> restart;
> with(Optimization);
> Minimize(x^2-y^2, {y=2*x-6});

> Maximize(x^2-y^2, {y=2*x-6});

> extrema( x^2-y^2,{x,y});
> with(plots):
> implicitplot3d([x^2-y^2=z,y=2*x-6],x=-10..10,y=-10..10,
z=-1..16,color=[red,green], scaling=constrained,axes=BOXED);

Differentsiallanuvchi funktsiya chegaralangan yoiq. D sohada uzining eng katta (eng kichik) qiymatiga yoik. D soha ichida yotuvchi statsionar nuqtasida yoki shu sohaning chegarasida erishadi. z=f(x,y) funktsiyaning chegaralangan yoik. D «dadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun funktsiyaning bu sohaga tegishli kritik nuqtalardagi qiymatlarini hmda uning D sohaning chegarasidagi eng katta va eng kichik qiymatlar aniqlanadi. Bu qiymat-larning orasidagi eng kattasi va eng kichigi berilgan fun­ktsiyaning D sohadagi mos ravishda eng katta va eng kichik qiymatlari bo‘ladi. Buni quyidagi misolda ko‘rsatamiz.
8.15.2-misol. z =x² + y² - xy + x + y funktsiyaning x =0, y=0, x+ y= -3 chizikdar bilan chegaralangan sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.
Yechish. Oxy tekisligida D sohani chizib olamiz (65-chizma). D sohaga tegishli statsionar nuqtalarni aniqlaymiz:

bundan x=-1, y=-1. M(- 1; - 1) nuqtani hosil qildik, bu nuqtada z₁=z(-l;-l)=-l(65-chizma).
Berilgan funktsiyani soha chegarasida tekshiramiz. OB tugri chiziqda (65-chizma) x=0 bo‘lib, z=y²+y tenglamaga ega bo‘lamiz va bu tenglama
[-3;0] kesmada bir o‘zgaruvchili funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish masalasiga keladi.
z’= 2y+ 1
ni topib, uni nolga tenglaymiz:
2y + 1 =0, bundan y =- , z"_yy = 2
bo‘lgani uchun M₂(0; - ) shartli lokal minimum nuqtaga ega bo‘lamiz va unda
z₂ = z(0; - ) = -
qiymatni xreil kilamiz. OB kesma uchlarida:
z₃=z(0,-3) = 6, z₄=z(0,0) = 0.
OA tug’ri chiziqda, y = 0 bo‘lib,
z=x² + x
ni xreil kilamiz.
z’_x= 2x+ 1 = 0, x = - , z"_xx =2,
yani M₃(- ;0) lokal minimum nuqtasi bo‘lib, unda
z₅ = Z(- ,0)= - .
A nuqtada: z₆= z(- 3,0) = 6.
AB kesma tenglamasi x + y =-3 bo‘lib, undan
y =- x- 3;
z=3x²+9x+6, z’_x = 6x+9, x= - , M₄ (- ,- )
statsionar nuqtaga ega bo‘ldik:
z₇ = z(- ,- ) = -
Funktsiyaning AB kesma uchlardagi qiymatlari yuqrrida aniqdangan edi.
Berilgan z funktsiyaning topilgan barcha qiymatlari­ni solishtirib, funktsiya A
(-3;0) va B(0;-3) nuqtalarda eng katta
z_{eng kat} = 6
va M₁(-1;-1) statsionar nuqtada eng kichik
z_{eng kich} =-1
qiymatlarga erishishini aniqdaymiz.