Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

eng katta qiymatlari
Faraz qilaylik, funksiya chegaralangan yoiq n o‘lchovli sohada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin; bundan tashqari, u sohaning ayrim nuqtalaridan boshqa barcha nuqtalarida chekli xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Veyershtrasning teoremasiga asosan bu sohada shunday nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya o‘zining eng katta (yoki eng kichik) qiymatiga erishadi. Agar D sohaning ichki nuqtasi bo‘lsa, funksiya shu nuqtada maksimum (yoki minimumga) ega. demak, bu holda bizni qiziqtirgan nuqta ekstremumga “gumonli” nuqtalar orasida bo‘ladi. Biroq, u funksiya o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatiga sohaning chegarasida ham erishishi mumkin. Shu sababli, funksiyaning D sohadagi ekstremumga “gumonli” barcha ichki nuqtalarini topib, funksiyaning shu nuqtalardagi qiymatlarini sohaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatlari bilan solishtirish kerak; bu qiymatlarning eng kattasi (yoki eng kichigi) funksiyaning butun yoiq sohadagi eng katta (yoki eng kichik) qiymati bo‘ladi.
Aytilgandagidek funktsiya yordamida z=f(x,y) funktsiyaning topilgan ekstremumini shartli ekstremum deyiladi. tenglama bog‘lovchi tenglama deyiladi.
Geometrik masalalarda shartli ekstremumlarni aniqlash z=f(x,y) sirtning tsilindr bilan kesishishidan hosil bo‘lgan egri chizikding ekstremum nuk,talarini topishga keltiriladi.
Agar boklovchi tenglamadan y = y(x) ni topib (agar uni topish mumkin bo‘lsa), uni z=f(x,y) funktsiyaga kuysak, shartli ekstremumni topish masalasi z=f(x,y(x)) bir o‘zgaruvchili funktsiyaning ekstremumini topishga kel­tiriladi.
8.15.1-misol. z=x²-y² funktsiyaning y=2x-6 shart bo‘yicha ekstremumini toping.
YEchish. y=2x-6 ni berilgan funktsiyaga qo‘yib, x o‘zgaruvchiga nisbatan bir o‘zgaruvchili quyidagi funktsiyani hosil qilamiz:
z = x² - (2x - 6)², z = -3x²+24x-36.
Uning hosilasini topamiz va uni nolga tenglaymiz:
z’ =-6x+ 24; z’ =-6x+ 24= 0
bundan
x = 4, y = 2x-6 = 8·2-6 = 2.
Ikkinchi tartibli hosila z"=~ 6<0
bo‘lgani uchun M(4;2) nuqtada berilgan funktsiya shartli maksimumga erishadi:
z_max= f(4,2)=12.
y=2x-6 shart bo‘yicha berilgan funktsiya ekstremumini topish: