Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

2-misol. funktsiyaning ikkinchi tar­tibli xususiy ҳosilalarini toping.
YE ch i sh . Dastlab berilgan funktsiyaning birinchi tar­tibli xususiy ҳosilalarini topamiz:
,
Bu ҳosilalarning xar birini x va u bo’yicha differentsiallab, berilgan funktsiyaning ikkinchi tartibli xu­susiy ҳosilalarini topamiz:

Bulardan aralash xususiy ҳosilalar tengligi (z''_xy = z'' _yx) ko’rinib turibdi.

3 - m i s o l. u = ln (x² + y²) funktsiya
+ =
tenglamani qanoatlantirishini tekshiring.
YE ch i sh . Berilgan i funktsiyaning x va y o’zgaruvchilar bo’yicha birinchi va ikkinchi tartibli xususiy ҳosilala­ ҳosilala­rini topamiz
, , ,
,.

Topilganlarni berilgan tenglamaning chap va ong tomoniga qo’yamiz.

:
Xosil kilingan natijalardan berilgan funktsiya teng­lamani qanoatlantirmasligi ko’rinib turibdi.
4-m i s o l. z = xy{x + y-2) funktsiyaning lokal ek stremumlarini tekshiring.
YE ch i sh. Berilgan funktsiyaning birinchi tartibli xu­susiy ҳosilalarini topamiz:
z’_x = 2xy +y² -2y , z'_y = x²+2xy-2x.
Ularni nolga tenglab quyidagi tenglamalar sistemasini ҳosil kilamiz:
y(2x + y-2) = 0,
x(x + 2y - 2) = 0
Bundan berilgan funktsiyaning M₁(0;0), M₂(2;0), M₃ (0;2), M₄ statsionar nuqtalarini aniqlaymiz. 2-teorema erdamida bu nuqtalarning kaysi birlari ek­stremum nuqtalari ekanligini aniqlaymiz. Uning uchun berilgan funktsiyaning ikkinchi tartibli xususiy ҳosilalarini topamiz:
z"_xx=2y, z"_xy=2x + 2y - 2, z" _yy =2x.
Xosil kilingan ifodalarga statsionar nuqtalarning koordinatalarini qo’yamiz va ekstremum mavjudligini zaruriy shartidan foydalanib quyidagiga ega bo’lamiz:
M_x nuqta uchun A = - 4 < O, ya’ni ekstremum yo’q.;
M₂ nuqta uchun A = - 4 < 0, ya’ni ekstremum yo’q;
M_h nuqta uchun A = - 4 < 0, ya’ni ekstremum yo’q.;
M4 nuqta uchun ∆ = > 0, ∆ = >0 , ya’ni ekstremum nuqta yo’q lekin berilgan funktsiya lokal minimum nuk.taga ega va unda