Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

> T:=z+[A1*(x-a)+A2*(y-b)]+[A11*(x-a)^2+2*A12*(x-a)*(y-b)+ A22*(y-b)^2]/2;



Qo‘shimch masalalar.


> with(Student[MultivariateCalculus]):
> mtaylor(sin(x), [x,y], 8);

> TaylorApproximation(sin(x),[x,y]=[1,1],5,x=-3..4,
y=-3..4,output=plot);

> TaylorApproximation(sin(x+y),[x,y]=[1,0],3);

> with(Student[MultivariateCalculus]):
> TaylorApproximation(sin(x+y),[x,y]=[1,0],5, output=animation);

> with(Student[MultivariateCalculus]):
> TaylorApproximation(cos(x+y),[x,y]=[1,1],3, output=animation);

8.14. Ko‘ o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari
Faraz qilaylik, funksiya n o‘lchovli D sohada aniqlangan bo‘lib, M₀ bu sohaning ichki nuqtasi bo‘lgan holda uning shunday atrofi mavjud bo‘lsinki, unga tegishli barcha nuqtalar uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, nuqta funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi, esa uning maksimumi (minimumi) deyiladi.
Agar nuqta funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi bo‘lib, bu nuqtaning shunday yaqin atrofi mavjud bo‘lsaki, unga tegishli barcha M nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa, funksiyaning sof maksimum (sof minimum) nuqtasi esa uning sof maksimumi (sof minimumi) deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimumlari bitta nom bilan uning ekstremumlari deb ataladi.
Agar funksiya nuqtada ekstremumga ega bo‘lgan holda, bu nuqtada uning biror argumenti bo‘yicha chekli xususiy hosilasi mavjud bo‘lsa, u nolga teng bo‘ladi. Masalan, mavjud va chekli bo‘lsin, u vaqtda funksiyani qaralsa, u bir o‘zgaruvchili bo‘lib, nuqtada ekstremumga ega ekanligi va uning chekli hosilasi mavjudligidan bu nuqtada kelib chiqadi.
Bu yerda shuni ham aytamizki, ko‘ o‘zgaruvchili funksiyaning barcha xususiy hosilalari nolga aylanadigan nuqtalar uning statsionar nuqtalari deb yuritiladi. Demak, statsionar nuqtalar ekstremum uchun «gumonli» nuqtalar hisoblanadi. Ya’ni ularning ba’zilari (yoki barchasi) ekstremum nuqtasi bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin.
n o‘zgaruvchili funksiyaning statsionar nuqtalarini topish
(8.14.1)
tenglamalar sistemasini yechish orqali amalga oshiriladi.
(8.14.1) o‘rniga
(8.14.2)
ni qarash mumkin. Yana ekstremum nuqtasida ba’zi xususiy hosilalar mavjud bo‘lmay qolishi yoki cheksizga aylanishi ham mumkin. Demak, ekstremumga «gumonli» nuqtalar qatoriga, statsionar nuqtalardan tashqari, funksiya xususiy hosilalarining barchasi mavjud bo‘lmaydigan yoki ulardan bir qismi nolga teng bo‘lib, qolganlari mavjud bo‘lmaydigan nuqtalarini ham qo‘shish kerak bo‘ladi.
Yuqorida aytilganlar ekstremumning zaruriy shartlarni bildiradi, lekin u yetarli emas.
Endi, ko‘ o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining yetarli shartlarini ko‘ramiz. Biz, ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun qaraymiz. Aytaylik, qaralayotgan funksiyaning statsionar nuqtasi, ya’ni

bo‘lib, bu nuqtada funksiyaning ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalari mavjud bo‘lsin. U holda funksiyaning ekstremumi etarli shartini aniqlovchi quyidagi teoremani ko‘ramiz.
Teorema. Agar z=f(x,y) funksiya (x₀;y₀) kritik nuqtada va uning boror atrofida ikkinchi tartibli xususiy hosilalariga ega bo‘lib, bundan tashqari, bu nuqtadagi xususiy hosilalar no‘lga teng bo‘lsa:

U holda (x₀;y₀) nuqtada
bo‘lib,
ifodaga asosan:
1)agar bo‘lsa, ekstremum mavjud, bunda:
a) bo‘lsa, minimum;
b) bo‘lsa, maksimim;
2) agar bo‘lsa, ekstremum mavjud emas;
3) agar bo‘lsa, ekstremum bo‘lishi ham va bo‘lmasligi ham mumkin.