Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

8.11.1-misol. Ushbu x³ + y³ = 3axy tenglama bilan berilgan oshkormas funktsiyaning xosilasini toping.
Yechish. F (x,y) = x³ + y³ - 3axy
funktsiya uchun bajarilishini tekshiramiz.
Funktsiya butun tekislikda anshugangan va uzluksizdir. Uning xususiy xrsilalari
F_x(x,y)=3x²-3ay= 3(x²-ay), F_y (x,y)=3y²- 3ax =3(y²- ax)
ham butun tekislikda uzluksiz. Shuning uchun F_y (x,y) =3(y²- ax)≠0 bo‘ladigan nuqtalarda x ga nisbatan y funktsiya y’_x hosilasi:

> f := x^3+y^3-3*a*x*y;
> implicitdiff(f,y,x);
Endi uchta o‘zgaruvchini boglaydigan
F (x, y, z) =0
tenglamani qaraymiz. Bunda z ni biror z = φ(x,y) funktsiya sifatida aniqlaydi deb faraz qilaylik. Birinchi holda (*) formu lani keltirib chikarishda qanday yo‘l tutgan bo‘lsak, shunday yo‘l tutamiz. Tenglamada z ning urniga (f(x,y) funktsiyani quyamiz va quyidagi ayniyatni xosil kilamiz:
F(x, y, f(x,y)) = 0.
Demak, F(x, y, z) funktsiyadan x va y buyicha xususiy hosilalar ham (bunda z=f(x,y)) nolga teng bo‘lishi kerak. Differentsial­lab topamiz:
,


(**)
8.11.2-misol. Ushbu
e^z - xyz =0
tenglama bilan berilgan oshkormas funktsiyaning xususiy hosilalarini toping.
Yechish. F(x, y, z) = e^z – xyz funktsiya hamma yerda aniqlangan va uzluksizdir. Uning xususiy hosilalari
F_x (x,y,z) = -yz,
F_y (x,y,z) = -xz.
F'_z (x,y,z) = e^z — xy
xamma erda uzluksiz funktsiyalar bo‘ladi. Shuning uchun F_z (x,y,z) =e^z- xy≠0 bo‘ladigan nuqtalarda z funktsiya (**) formula bi­lan xisoblaniladigan z’_x va z’_y xususiy hosilalarga ega bo‘ladi:

Ixtiyorny sondagi o‘zgaruvchilarning oshkormas funktsiyasi shunga O‘xshash aniqlanadi va ularning xususiy xrsilalari topiladi.