Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

8.13. Ko‘ o‘zgaruvchili funksiya uchun Teylor formulasi

Agar bir o‘zgaruvchili funksiya nuqtada - tartibligacha uzluksiz hosilalari mavjud bo‘lsa, uning Teylor formulasi bo‘yicha yoyilmasi

(0<<1) ekanligini bilamiz. Endi, faraz qilib, bu formulani

ko‘rinishda yozish mumkin (bu yerda dir).
Ikki argumentli funksiyani qaraylik, u tayinlangan nuqta atrofida -tartibgacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega deb faraz qilaylik. va orttirmalarni shunday beraylikki, va nuqtalarni tutashtiruvchi kesma nuqtaning ko‘rilayotgan atrofidan chiqmasin.
(8.13.1)
tenglikning to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik (bu yerda dir).
Buning uchun yangi t o‘zgaruvchini
(8.13.2)
tenglamalar yordamida kiritamiz. (8.13.2) ni ga qo‘yib, bitta t o‘zgaruvchining murakkab

funksiyani hosil qilamiz.
Kiritilgan (8.13.2) tenglamalar geometrik jihatdan va nuqtalarni tutashtiruvchi kesmani ifoda qilishi bizga ma’lum.
Bo‘lar asosida

ekanligini tushunish qiyin emas.
Endi, ga yuqoridagi Teylor formulasini qo‘llasak,
(8.13.3)
ga ega bo‘lamiz (bu formulaning o‘ng tomoniga kirgan dt turli darajalari bilan birga ga tengdir).
Endi, o‘zgaruvchilarni chiziqli almashtirish natijasida hatto yuqori tartibli differensiallar ham shaklini saqlab qolishidan (invariantlik xossasi) foydalanib, ushbuni yoza olamiz:

va hokazo. Nihoyat, (n+1)-differensial uchun

bo‘larni (8.13.3) ga qo‘yib, (8.13.1) ni olamiz.
Shunday qilib, differensial shaklda yozilgan Teylor formulasi ko‘ o‘zgaruvchili funksiya uchun ham bir o‘zgaruvchili funksiyadek kabi sodda ko‘rinishga ega ekan. Ammo, uni argumentlar bo‘yicha yozilgan ko‘rinishi ancha murakkabdir. Masalan, ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun uning birinchi uchta hadi quyidagichadir:
(8.13.4)
Bu formulani (x₀;y₀) nuqta atrofidagi yoyilmasinin quyidagicha yozamiz:
(8.13.5)
Xuddi shunga o‘xshash ishni n o‘lchovli fazoga tegishli M₀ nuqtaning atrofida (m+1)- tartibgacha xususiy hosilalari uzluksiz bo‘lgan funksiya uchun bajarib, quyidagicha Teylor formulasiga ega bo‘lamiz:
(8.13.6)
bu yerda