Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

8.10. Oshkormas funktsiyalar
Ikki x va u o‘zgaruvchini boglovchi ushbu
F(x,y) = 0 (8.10.1)
tenglamani qaraymiz. Agar x ning biror to‘lamdagi har bir qiymatiga x bilan birga (8.10.1) tenglamani qanoatlantiruvchi yagona u qiymat mos kelsa, (8.10.1) tenglama bu to‘lamda u =φ(x) oshkormas funktsiyani aniq.laydi.
Shunday qilib, x ning u oshkormas funktsiyasi x ga nisbatan echilmagan tenglama bilan aniqlanadi. Oshkormas funktsiyadan farqli ularoq x ga nisbatan echilgan y=f(x) tenglama bilan berilgan funktsiya oshkor funktsiya deb ataladi.
Masalan,
e^2y-x²-1=0
tenglama barcha x>-1 lar uchun x ga nisbatan u funktsiyani osh­kormas aniqlaydi. Uni u ga nisbatan echib, quyidagini hosil qlamiz:
y=
Bu formula bizga y ni x ga nisbatan oshkor funktsiya sifatida beradi.
Birok, oshkormas ko‘rinishda berilgan har qanday funktsiyani ham oshkor ko‘rinishda tasvirlab bo‘lavermaydi. Masalan, ushbu
y - x - sin y =0,
x- x³y-ln y = 0
tenglamalar bilan berilgan funktsiyalarni y ga nisbatan echib bo‘lmaydi, to‘g’ri, ulardan birinchisini x ga nisbatan echish mumkin. Shuning uchun
y - x - sin y =0,
tenglama u ga nisbatan x funktsiyani oshkormas aniqlaydi.
Bahzi hollarda F(x,y)=0 ko‘rinishdagi tenglama oshkormas funktsiyani umuman aniqlamasligi mumkin. Masalan, ushbu
x² + y² + R² = O
tenglama hech kanday x va y haqiqiy sonlarda bajarilmaydi, demak, u hech qanday funktsiyani aniqlamaydi.


8.11. Oshkormas funktsiyaning hosilasi.

Oshkormas funktsiya

F(x, y) = 0
berilgan bo‘lsin va bu tenglama y ni biror y=φ(x) funktsiya sifatida aniqlasin. F(x,y) funktsiya oshkormas funktsiyaning mavjudlik teoremasi shartlarini kanoatlantirsin. Agar tenglamada u o‘rniga φ(x) funktsiyani qo‘ysak, u holda ushbu
F(x, φ(x) = 0
ayniyatni hosil qilamiz.
Demak, x bo‘yicha F(x,y) funktsiyadan hosila ham (bu erda y=φ(x)) nolga teng bo‘lishi kerak. Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasi ((6.9) formula) bo‘yicha differentsiallab, quyidagini topamiz:
,

, (*)
ni olamiz. Bu (*) tenglama vositasida berilgan bir o‘zgaruvchili oshkormas funksiyaning hosilasi formulasidir.
Olingan (*) formulaning har ikki tomonini differensiallab,

va hokazo formulalarni olish mumkin.
Albatta buning uchun F dan kerakli tartibli uzluksiz xususiy hosilalar mavjudligini talab qilish kerak bo‘ladi.
Endi, da lar argumentlar u funksiya deb faraz qilinsa, n o‘zgaruvchili oshkormas funksiya tenglamasiga ega bo‘lamiz. Bu yerda ham F funksiya barcha argumentlari bo‘yicha xususiy hosilalarga ega va deb faraz qilib, oshkormas funksiyaning xususiy hosilalari uchun

formulani olish qiyin emas.