Mantiq va matematik mantiq

Mashqlar
1)-10) aksiomalar tavtalogiyalar bo‘lishini tekshiring.

Predikatlar mantig‘i haqida

Predikatlar mantig‘ining tili mulohazalar tilining kenggay-masi hisoblanadi. Endi boshlang‘ich belgilarning ikki to‘plami-dan foydalanamiz. Bu avvalo orqali belgilanadigan o‘ziga xos o‘zgaruvchilar (yoki predmetlar) va bundan tashqari predikatlarga oid ko‘rinishdagi harflar, bu yerda: Harf o‘rinli predikatga oid harf deyiladi. Nol o‘rinli predikatga oid harflar propozitsional deyiladi. Predikat-ga oid harflarni yuqoridagidek orqali belgilaymiz.
Predikatlar mantig‘ining formulalari quyidagi uchta punkt yordamida induktiv aniqlanadi. 1-punkt – bu induksiyaning bazisi, qolganlari esa – vujudga keltiruvchi qoidalardir.

1. 
   Har qanday propozitsional harf formuladir. Agar o‘rinli predikatga oid harf, va o‘ziga xos o‘zgaruvchilar bo‘lsa, u holda formuladir.
   
2. 
   Agar va formulalar bo‘lsa, u holda belgilarning quyidagi kombinatsiyasi ham formuladir:
   

3. 
   Agar formula va o‘ziga xos o‘zgaruvchi bo‘lsa, u holda va formulalardir.
   

Barcha formulalar 2) va 3) qoidalarni ketma-ket qo‘llash
yordamida 1) ko‘rinishdagi formulalardan quriladi. Masalan,
ifoda

formula bo‘ladi va uni meta belgilashdan foydalanib (tashqi qavslarni yozmasdan)

ko‘rinishda yozamiz.
Predikatga oid o‘zgaruvchi ni formulaga kirishi erkin yoki bog‘liq bo‘lishi mumkin.

1. 
   Formula ga o‘zgaruvchilar erkin ravishda kiradi.
   
2. 
   Agar o‘zgaruvchi o‘zgaruvchi dan farqli bo‘lsa, u holda o‘zgaruvchi ning va formulalarda erkin kirishi
   

formulalarda ham erkin bo‘lib qoladi.

3. 
   O‘zgaruvchi ning formulaga erkin kirishi formulalarda bog‘liqliga aylanadi.
   
4. 
   O‘zgaruvchining va ga bog‘liqli kirishi formulalar
   

da bog‘liqligicha qoladi.
Agar formulada predmetga oid o‘zgaruvchilarning erkin kirishlari bo‘lmasa, u holda u yopiq yoki da’vo deyiladi.
Bitta o‘zgaruvchining o‘zi formulaga har xil joylarda ham erkin va ham bog‘liqli kirishi mumkin. Agar o‘zgaruvchi formulaga (hech bo‘lmaganda bir marta) erkin kirsa, u holda u parametr deyiladi. Da’vo parametr qatnashmagan formuladir.

2. 
   Agar bo‘sh bo‘lamagan to‘plam berilgan va formulaga kiruvchi har bir predikatga oid belgilar elementlarining funk-siyasidek (qiymatlari 0 va 1) chinlik qiymatlari berilgan, ya’ni
   

,
bu yerda: , bo‘lsa, u holda predikatlar mantig‘ining
formulasi ma’lum talqinni oladi.
Agar formulaning talqini berilgan bo‘lsa, u holda uning chinlik qiymatini ham parametrlarning funksiyasidek qurilgan formula bo‘yicha induksiya bilan hisoblash mumkin. Bunda kvantorlarning qiymati quyidagicha hisoblanadi:


Bunday talqinda yopiq formula ma’lum chin qiymatga ega.
Mulohazalar mantig‘idek har qanday talqinda (yopiq bo‘lma-gan formulalar haqida qo‘shimcha qilish ham kerak: M to‘plam-dan erkin o‘zgaruvchilarning ixtiyoriy qiymatlarini o‘rniga qo‘yganda) chinlik qiymati birga teng bo‘lgan umum ahami-yatga ega formulalar (ayniyatlar, mantiqiy qonunlar) alohida qiziqishni ifodalaydi.
Har qanday talqinda yolg‘on formula qarama-qarshilik deyi-ladi. Agar formula qarama-qarshilik bo‘lmasa, u holda bajarili-shi mumkin: hech bo‘lmaganda bitta talqin uchun (va yopiq bo‘lmagan formulalar uchun erkin o‘zgaruvchilarning qandaydir to‘plamida) uning chinlik qiymati birga teng.
Misol uchun ushbu formulani ko‘ramiz:

Bu formula bajarilishi mumkin, chunki bu yerda, masalan, natural sonlar to‘plami va predikat esa dek talqin qilinsa, u chin (haqiqatan
. Shu bilan birga bu formula xech qanday chekli to‘plamda bajarilishi mumkin emas. Chunki formulaning to‘plamda chinligidan uchun bo‘lgan to‘plam element-larining barcha hadlari har xil ketma-ketligi
mavjudligi kelib chiqadi. Bu to‘plamning chekliligiga zid.