Mantiq va matematik mantiq

Mualliflar

Kirish

Mantiq birorta fanni (u gumanitar yoki tabiiy bo‘lsin) rivojlatirishda muhim vazifani bajaradi: u nimadan nima kelib chiqishini yoki boshqacha aytganda chin xulosalar olish uchun qanday fikrlashni anglatadi. Har qanday ilmiy nazariyani bayon etishda doimo mantiqdan foydalanamiz. Mantiq yordamida aksi-oma (postulat)lardan teoremalar keltirib chiqarilgan, Evklidning⁴ eramizdan oldingi 330-320 yillarda yozilgan, 13 ta kitobdan iborat ”Negizlar”i hammaga ma’lum misoldir.

Lekin mantiqqa maxsus bag‘ishlangan Aristotelning⁵ “Tahlilchilar” asari qadimiy yunon davriga tegishli.
Matematik mantiq yoki belgili mantiq matematikaning usullari yordamida rivojlantiriladigan mantiqdir. Bu atama boshqa ma’noga ham ega. Matematik mantiqni o‘rganish – matematikada o‘rganiladigan mantiqni o‘rganish demakdir.
Matematik mantiq tashqi tomondan oddiydan shu bilan farqlanadiki, u odatiy til so‘zlari va so‘zlarni gapga birlashtirish usullarini matematik va mantiqiy belgilar bilan butunlay almashtirishi mumkinligidan kelib chiqib, matematik va manti-qiy belgilar tilidan keng foydalanadi. Masalan, “ikki natural soni uch natural sonidan kichik” da’voni belgilarga o‘tkazsak yoki ko‘rinishni oladi.
Matematik mantiq fani ixtiyoriy hisoblash mashinasi yoki kompyuter ishlashining asosi bo‘lgan mantiqiy masalalar yechish va mantiqiy sxemalar qurish uchun matematik usullarni tatbiq qilish masalalarini o‘rganadi.
Barcha boshlang‘ich tahlillarni matematik belgilarga o‘xshash tilda yozib, fikrlashni hisoblash mumkinligi haqidagi fikr ancha oldin paydo bo‘ldi. Bunday mantiqiy hisoblashlarning aniq bayon etilgan qoidalarini esa, hisoblash mashinalariga (kompyuterlarga) kiritilgan boshlang‘ich tahlillardan bizni qiziqtirayotgan natijalarni avtomatik taqdim etishga qodir bo‘lgan kompyuter tiliga o‘tkazish mumkin. Shunga o‘xshash “mantiqiy mashina” loyihasini, yana unga faqat g‘oyat fantastik tatbiqlar berib, o‘rta asrlardayoq Raymund Lulliy⁶ tuzdi.
Anchagina aniq va keyinchalik haqiqatda amalga oshirishga yaqin universal mantiqiy hisoblash g‘oyasini Leybnits⁷ yaratdi. Leybnits hatto kelajakda filosoflar behuda tortishish o‘rniga ulardan kim haqligini qog‘oz olib va hisoblashlar bajarishlariga umid qilgan edi.
Mulohazalar mantig‘i deb atalmish matematik mantiqning shunday apparatini yaratishga Jorj Bul⁸ asos soldi. Mantiqiy – matematik tillar va ular ma’nosining nazariyasi Fregening⁹ ishlarida anchagina rivojlantirildi. Matematik mantiq tilida matematikaning katta (sonlar tizimi) bo‘limlarini keng o‘ylangan bayoni Peano¹⁰ ishlari va ayniqsa, Rassel¹¹ va Uaytxedning¹² 1910-1913 yillarda nashr etilgan uch tomlik muhim monografiyasiga kiritildi.
O‘tgan asrning yigirmanchi yillarida matematik mantiq asosida matematikani asoslash dasturi bo‘yicha mashhur mate-matik Gilbert¹³ fikr bildirdi. Shu vaqtdan boshlab formal aksio-matik nazariyalarni tatbiq etish bilan tavsiflanuvchi matematik mantiq rivojlanishining zamonaviy bosqichi boshlandi.
XX asrning o‘rtalarida matematik mantiq shunchalar rivojla-nib ketdiki, Arestotelning ikkita – “chin” yoki “yolg‘on” qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin bo‘lgan klassik mantig‘idan farq qiluvchi, lekin klassik ikki qiymatli mantiq uchun qiymatli mantiq bilan to‘ldirilishi mumkin bo‘lgan, yangi – ko‘p qiymatli mantiq va noaniq mantiq nazariyalari vujudga keldi. Ko‘p qiymatli mantiq – bu mantiqiy ifodada ikkitadan ko‘p elementga ega to‘plamdan qiymatlar qabul qilishi mumkin bo‘lgan mantiq. Bunda bu qiymatlarning ba’zilari chin deb hisoblanadi. Adabiyotda ko‘p taraqalgan uch qiymatli mantiq (masalan, Yan Lukasevich¹⁴ va Stiven Klini¹⁵ mantig‘i), chekli (uchtadan ko‘p qiymatga ega bo‘lgan) va cheksiz qiymatli mantiqlar (bunga chinlikning dan gacha uzluksiz shkalali qiymatlariga ega – ehtimoliy mantiq, shuningdek, noaniq mantiqni kiritish mumkin) mashhur hisoblanadi.
Kelib chiqishi Ozarboyjon SSR (hozirgi Ozarboyjon respub-likasi) bo‘lgan Lutfiy Zoda¹⁶ 1965 yilda noaniq to‘plamlar nazariyasi bo‘yicha, bu nazariyaning matematik apparati bayon etilgan, asos soluvchi ishni nashr etdi. 1973 yilda noaniq mantiq nazariyasi (ingl. fuzzy logic), keyinchalik engil hisoblashlar nazariyasi (ingl. soft computing), va shuningdek – og‘zaki hisoblash va tasvirlashlar nazariyasini (ingl. computing with words and perceptions) taklif qildi.

Matematik va mantiqiy belgilar tilining

sintaksisi (gap, jumla tuzilishi)

Ba’zi ishora va belgilarning kombinatsiyasiga mustaqil ma’no yozib qo‘yamiz. Quyidagi ishora va belgilarning kombi-natsiyasi sizlarga ma’lum:

.
Lekin, alohida olingan , ishoralari va belgilarning, masalan, , kombinatsiyalariga mustaqil ma’no bermaymiz. va ishoralari ishlatilish o‘rniga bog‘liq holda mustaqil ma’noga ega bo‘lishi mumkin, masalan, mustaqil ma’noga ega yoki va yoki yozuvlarda mazkur ishoralarning ma’nosi har xil. Birinchi ikkitasida bu ishoralar sonini mos ravishda musbat yoki manfiyligini anglatsa, keyingi ikki yozuvda esa mos ravishda ga ni qo‘shish yoki dan ni ayirishni anglatadi.
Mustaqil ma’noga ega bo‘lgan belgi va belgilarning kombi-natsiyalari orasida eng avvalo predmetlarning nomlari ajratib olinadi. Ushbu
( soni), ,
yettita belgi va ularning kombinatsiyalarini ko‘raylik. Bu yerda to‘rtta predmetning yetti nomi yozilgan. Chunki
,
ya’ni, masalan, va bittagina predmetning nomi hisoblanadi.
Belgilarning kombinatsiyasi ning ham nomi bor va u “sinus” funksiyasi nomi va soni nomidan haqiqiy sonning nomini olish mumkin.