Mantiq va matematik mantiq

Mashqlar
1. Ikki o‘rinli amallar jufti bilan teng kuchli emasligini ko‘rsating.
2. Ushbu formulalar
;

ikki o‘rinli amallarning qaysi biriga mos keladi?
3. Quyidagi formulalar tavtalogiya bo‘ladimi?
;
;
c) ( ;
d) .

Mulohazalar hisobi

1. 
   Mulohazalar hisobi misolida matematik nazariyaning qat’iy formallashtirish yo‘llarini ko‘rib chiqamiz.
   

Matematik nazariyani formallashtirganda uning mazmuni-dan butunlay chetga chiqamiz. Ma’lum qoidalar bo‘yicha kelti-rib chiqariladigan teoremalarni oddiy formulalar deb qabul qila-miz. Shuning uchun formal nazariyalarni o‘zgacha – hisoblash-lar deyiladi. Lekin belgi va formulalar hisoblari haqida ma’noli fikrlash kerak bo‘ladi: formal nazariya bilan yonida ba’zi belgi-lashlardan foydalanuvchi “metanazariya” ham vujudga keladi. Metanazariyaning bu belgilarini formal nazariyaning o‘ziga tegishli belgilaridan qat’iy farq qilish joiz. Mulohazalar man-tig‘ini formallashtirish, uni “mulohazalar hisobiga” aylantirish-ning o‘zi juda qiziq emas, chunki mulohazalar mantig‘ini chinlik qiymatlari bilan hisoblashlarga keltirgandan keyin ham tabiati juda oddiy chekli ob’ektlar haqida fikr yuritish sohasida bo‘la-miz. Lekin u bilan formal aksiomatik nazariyaning muhim misoli sifatida tanishish foydali.
Mulohazalar mantig‘ini formallashtirishning ko‘plab vari-antlari mavjud. Ulardan birini tasniflaymiz; uni “nazariya ” deymiz.
Ma’noli har qanday nazariyani formallashtirish formal naza-riyaning belgilarini tanlash – nazariyaning tilidan boshlanadi. Nazariya ning asosiy belgilari:
1) propozitsional harflar ;
2) mantiqiy bog‘lovchilar ;
3) qavslar (, ) hisoblanadi.
Ta’kidlanganidek nazariya belgilaridan tashqari metanaza-riyaga tegishli simvollardan ham foydalanamiz.
propozitsional harfni belgilash uchun
belgilarni ishlatamiz. Metanazariyaning kelgusi kelishuv va belgilashlari zarurat bo‘lganda paydo bo‘ladi.
Nazariyaning asosiy belgilari tanlangandan keyin, formula deb ataluvchi, ularning ba’zi kombinatsiyalari ajratiladi. Formu-lalar quyidagi ikki punktlar yordamida induktiv aniqlanadi: 1) Unda belgilarning qanday kombinatsiyalari formulalar bo‘lishi bevosita aytiladi; 2) Vujudga keltiruvchi qoidani ifodalaydi. ning barcha formulalari punkt 1) ning formulalaridan qoida 2) ni ketma-ket qo‘llab olingan deb faraz qilinadi. Shunday qilib, propozitsional harflar ning formulalaridir.

1. 
   Agar va formulalar bo‘lsa, u holda belgilarning quyidagi kombinatsiyalari ham formulalar hisoblanadi.
   

Nazariyaning ba’zi formulalari aksiomalar deyiladi. Nazari-ya da ular o‘nta:

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   
   
5. 
   ;
   
6. 
   ;
   
7. 
   ;
   
8. 
   ;
   
9. 
   ;
   
10. 
    ,
    

bu yerda: propozitsional o‘zgaruvchilar va demak 1) -10) nazariya ning muayyan o‘nta formulalarining ro‘yxatidir. Keyin, avval isbotlangan teoremalarni qo‘llab yangilar olinadi-gan keltirib chiqarishning qoidalari qabul qilinadi. Nazariya da keltirib chiqarishning bunday qoidalari ikkita.
Birinchi qoida

ko‘rinishga ega. Modus ponens - keltirib chiqarish qoidasi deb ataluvchi bu qoida, agar va formulalar teoremadek aniqlangan bo‘lsa, u holda formula ham teorema hisoblanadi.
Ikkinchi qoida

ko‘rinishga ega, bu yerda: formulalar, -
jufti bilan har hil propozitsional harflardir. orqali ga kiruvchi barcha harflarni mos ravishda formulalarga bir vaqtda almashtirish natijasini belgilaymiz. Ta’kidlash joizki, o‘rniga qo‘yish qoidasi ni da qatnashmagan propozitsional harf larga ham qo‘llash mumkin. Bu holda mos lar hech qaerga qo‘yilmaydi va hech qanday rol o‘ynamaydi.
2. Endi teorema yoki boshqacha nazariya ning formulasi nimaligini tasniflashga o‘tamiz.
Keltirib chiqarish deb, formulalarning shunday chekli

ketma-ketligiga aytamizki, bu ketma-ketlikning har bir formu-lasi yo aksioma yoki o‘zidan avvalgisi bilan ustma-ust tushadi yoki keltirib chiqarish qoidalarining biri yordamida o‘zidan oldingilardan hosil bo‘ladi. Keltirib chiqarish

ni o‘zining oxirgi formulasini keltirib chiqarish, va formulani esa chiqariluvchi yoki shuni o‘zini anglatuvchi, naza-
riyaning teoremasi deyiladi. Buni:
yoki oddiygina
ko‘rinishda yozamiz. Quyida sifatida keltirib chiqarishni, uning yetishmagan kesmasini kiritib har doim to‘ldirishimiz mumkinligini nazarga olib, nazariya ning avval olingan teore-malari turishi mumkin bo‘lgan qisqa keltirib chiqarishdan foydalanamiz.
Misol uchun nazariya da teoremani keltirib chiqarishni ko‘ramiz.
Keltirib chiqarishningning birinchi formulasi sifatida 2) aksiomani olamiz. Unga

ko‘rinishidagi o‘rniga qo‘yish qoidasini qo‘llaymiz va

ni olamiz. 1) aksiomadan o‘rniga qo‘yish

bilan
(b)
ni olamiz. (a) va (b) ga qoidani qo‘llab,
(c)
ga egamiz. Aksioma 1) dan o‘rniga qo‘yish bilan
(d)
ni olamiz. (c) va (d) ga ni qo‘llab, nihoyat
(e)
ni olamiz.
3. Eslatib o‘tamiz, mulohazalar ma’noli hisobining formal anologidek nazariya qurdik. Shunga mos holda nazariya ning barcha teoremalari ma’noli izohlashda mulohazalar manti-g‘ining “chin” da’vosini, ya’ni tavtalogiyani bersa maqsadga muvofiqdir. Bu haqiqatan shunday. Avvalo nazariya ning kel-tirib chiqarilayotgan har qanday formulasi bizning talqinimizda tavtalogiyaligini ko‘rsatamiz. Buning uchun 1)-10) aksiomalar tavtalogiyalarligini tekshirish kerak. Bunday tekshirish chinlik jadvalini elementar tuzish bilan amalga oshiriladi. Keyin, kelti-rib chiqarilayotgan har qanday formula birorta keltirib chiqarish

ning so‘nggi formulasi hisoblanadi. Keltirib chiqarishni ta’rifini
eslab, tavtalogiyalarga keltirib chiqarishning va qoi-
dalarini qo‘llash yana tavtalogiyalarga olib kelishini tekshirish yetarligiga ishonch hosil qilamiz. Bunday tekshirish ham o‘z-o‘zidan ravshan. Shunga ko‘ra keltirib chiqarilayotgan har qanday formula – tavtalogiya.