Mantiq va matematik mantiq

Mashqlar
1. Agar Bul halqasi bo‘lsa, u holda uchun ham Bul halqasi bo‘lishini ko‘rsating.
2. Bul halqasi ta elementga egaligini ko‘rsating. Bu halqada bir vazifasini - lik , nolni esa - lik bajaradi.

Mulohazalar mantig‘i

1. Katta lotin harflari mulohazalarni anglatadi deb hisoblay-miz. Bitta yoki ikkita mulohazalarga mantiqiy amallarni qo‘lla-sak yangi mulohazalar hosil bo‘ladi. Mulohaza dan uning inkori ni olishimiz mumkin. va mulohazalardan ularning kon’yunksiyasi va ularning diz’yunksiyasi va hakoza olishimiz mumkin.
Bul funksiyalari deb ataluvchi qiymatlari Bul halqasi da bo‘lgan o‘zgaruvchili funksiyalar-ninq Bul halqasi ni ko‘raylik. Mulohazalar ustida faqat shun-day amallarni o‘rganamizki, ularning qiymati ning chinligi mulohazalarning chinlik qiymatlari bilan to‘liq aniqlanadi:

Bul funksiyalari aynan teng bo‘lgan amallar teng kuchli-dir. Mulohazalar ustida amallar faqat “teng kuchlilikkacha aniqlikda” qiziq. Shuning uchun mulohazalar ustida amallarni “teng kuchlilikkacha aniqlikda” tasniflash ni ga akslantiruvchi mos Bul funksiyalari ni tasniflash bi-
lan ustma-ust tushadi.
Bitta mulohaza ustida jufti bilan teng kuchli bo‘lmagan to‘rt-
ta amallar


va ikkita mulohazalar ustida jufti bilan teng kuchli bo‘lmagan o‘n oltita amallar





bor.
Keltirilgan barcha amallarni uchta: inkor, diz’yunksiya va kon’yunksiya orqali ifodaladik. Shu uchta amallar orqali ixtiyoriy uchun mulohazalar ustida o‘rinli barcha amallar ifodalanadi.


bo‘lgani uchun faqat yoki amallar yig‘malaridan foydalanish mumkin edi. Bu mulohazalar mantig‘i tizimi uchun bazis bo‘lishi mumkin. Faqat bitta ikki o‘rinli amaldan tashkil topgan bazis mavjudligi qiziq. Buning
uchun amal

yoki unga qo‘shma amal

yaraydi. Masalan, orqali inkor va kon’yunksiya quyidagicha ifodalanadi:

bazis ham qiziq, bu yerda sizga ma’lum implikatsiya


dan iborat.
Bu bazisda kon’yunksiya va diz’yunksiya quyidagicha aniq-lanadi:

2. Qiymatlar sohasi barcha mulohazalardan tashkil topgan o‘zgaruvchilar propozitsional deyiladi va , R, … harflar bilan belgilanadi.
Mulohazalar mantig‘i formulallari (propozitsional formula-lar) propozitsional o‘zgaruvchilardan formal ishoralar muloha-zalar ustida amallarni anglatuvchi qavs va belgilar yordamida tuziladi. Quyidagi ishoralardan foydalanamiz:
“kon’yunksiya” amal “va”
“ diz’yunksiya” amal “yoki”
“inkor”, bir o‘rinli amal rad etish
“implikatsiya” “agar ..., u holda”
Propozitsional formulalar quyidagi vujudga keltiruvchi qoidalar yordamida propozitsional o‘zgaruvchilar bilan boshlab tuziladi: agar va mulohazalar mantig‘ining muayyan formu-lalari bo‘lsa, u holda yangi formulalar

ni qurish mumkin. Bu qoidalarni ketma-ket qo‘llab, har xil belgilar satrlari formulalar tuzish mumkin. Masalan,


ifodalar mulohazalar mantig‘ining formulalari bo‘ladi. Ta’kid-
laymizki, belgilar , , va shunga o‘xshashlar mos amallarning
ta’siri natijasi emas, balki oddiy belgilardir. Buni uqtirish uchun, belgi o‘rniga formal belgi dan foydalanamiz. Belgi ni harfdek, belgi deb qabul qilish kerak, ni esa, o‘zbek tilida “agar bo‘lsa, u holda ” iborani anglatadi. Boshqa mantiqiy belgilarni ham formal va ham ma’noli habarlar uchun ishlatamiz, lekin bu anglashilmovchiliklar keltirib chiqarmasligi kerak.
O‘xshash qilib, formula uchun qisqa belgi, binobarin, o‘zbek tilidagi “ shu holda va faqat shu holda ” mulohazaning qisqartmasi.
Propozitsional formula o‘zi chin ham emas va yolg‘on ham emas, bu belgilarning oddiy sharti. Lekin, agar uning propozitsi-onal o‘zgaruvchilari o‘rniga muayyan mulohazalar qo‘yilsa, u holda, agar mulohazalar ustida ko‘rsatilgan amallarni bajarsak, bu formula muayyan mulohazani aniqlashi tabiiy.
Shunday qilib, propozitsional o‘zgaruvchilar dan tuzilgan mulohazalar mantig‘ining har bir formulasi ga Bul halqasi da aniqlangan Bul funksiyasi mos keladi.
Agar formula da larni o‘rniga ixti-yoriy muayyan mulohazalarni qo‘yganda u chin bo‘lsa, ya’ni agar bu formulaga dan aynan birga teng Bul funksiyasi mos kelsa, u holda formula tavtalogiya (propozitsional tavtalogiya, umumahamiyatga ega formula, mantiqiy qonun) deyiladi.
Tavtalogiyalarga misollar:
;
;
;

Tavtalogiyalarning oxirgisi, agar ni inkori ziddiyatlikka olib kelsa, u holda chin – teskarisidan isbotlash uchun asos bo‘lib xizmat qiladi.
Formula ni tavtalogiya ekaniga ishonch hosil qilish uchun yetarlicha ko‘p, lekin har doim amalga oshirish mumkin bo‘lgan, mos Bul funksiyasi ni o‘zgaruv-chilarning turli-tuman qiymatlarida hisoblash amaliyotini baja-rish kerak bo‘ladi. Shunday qilib, berilgan formula tavtalogiya-mi yoki tavtalogiya emasligini har doim samarali aniqlash mumkin.
Agar formula tavtalogiya bo‘lsa, u holda ikki formula va teng kuchli yoki mantiqan ekvivalent bo‘ladi. Boshqacha aytganda, agar va bir hil o‘zgaruvchilarning Bul funksiyalarini beruvchidek ko‘rilsa, u holda va larning Bul funksiyalari usta-ust tushadi.
Bitta mulohaza ustida to‘rtta amallarni jufti bilan teng kuchli emasligini ko‘rsatish uchun chinlik jadvalini tuzamiz.

A
0	1	0	1
1	0	0	1

Quyidagi formula

tavtalogiya bo‘lishini ko‘rsatish uchun chinlik jadvalini tuzamiz.

0	0	0	1	0	1
0	1	1	0	0	1
1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1

Shunday qilib, Bul funksiyasi uchun:

ya’ni formula tavtalogiya.