Mamirov Xusanning Kvaternionlar halqasi va uning tatbiqlari

BOB. KVATERNIONLAR HALQASI VA UNING TATBIQLARI

2. Kvaternion son tushunchasi. Kvaternion sonlar ustida amallar va ularning xossalari, misollar

Ushbu mavzuni yoritishdan avval kvaternion son asoschisi haqida qisqacha ma’lumot keltirib o’tamiz. Irland matematigi va mexanigi Uilam Rouan Gamilton Irland matematigi va mexanigi Uilam Rouan Gamilton 1805 yil 4 avgust kuni Dublinda dunyoga keladi. 1837 yildan Irlandiya FA prezidenti, 1827 yildan Dublin unverstiteti astronomiya rasadxonasi professori va direktori bo’lgan. Kompleks sonlar nazariyasining aniq rasmiy bayonini bergan. 1843 yilda o’ziga xos sonlar sistemasi-kvaternionlar deb ataluvchi to’rt birlikli (l, i, j, r ) sistemani tuzdi. Shu sistema to’g’risidagi nazariyasi vektorlar analizi taraqqiyotiga katta hissa bo’lib qo’shildi. Mexanik variatsion usulni (eng kam ta’sir prinsipini) mexanikaga tatbiq etdi (rus matematigi M.V.Ostrogradskiy ham mustaqil ravishda aniqlagan). Bu prinsip mexanik va fizik jarayonlarning differensial tenglamalarini keltirib chiqarishda asosiy vositalaridan hisoblanadi. Matematik 1865 yil 2 sentabr kuni Dansinkda vafot etadi.
KVATERNIONLAR.
Bu yerda kvaternionlar uchun Gamilton tomonidan kiritilgan klassik belgilashlar qo’llaniladi
Kvaternion sonlar ko‘rinishida boʻlib, bu sonlardan iborat to‘plam odatda orqali belgilanadi, bunda – haqiqiy sonlardir. Bu toʻplamdan olingan ixtiyoriy ikkita , elementlar oʻrtasida qoʻshish “+” va koʻpaytirish “ ” amallari quyidagicha kiritiladi.
Avvalo larni ko‘paytirishni o‘rganaylik va u quyidagi jadval asosida bajariladi.

Endi yuqorida berilgan ixtiyoriy va kvaternion sonlar ustida amallarni qaraylik:

1. Qoʻshish amali : + ;
2. Bazis elementlar o‘rtasida koʻpaytirish amali: ,
3. Koʻpaytirish amali:
.
Yuqorida aniqlangan amallarga nisbatan kvaternion sonlar toʻplami kommutativ bo‘lmagan halqa hosil qiladi.
songa kvaternionga qo‘shma kvaternion deyiladi.
Haqiqiy birlikning ko’paytuvchisi – q kvaternionning skalyar qismi deyiladi.
a scalq
Mavhum birliklar bilan chiziqli kombinatsiyasi – vector qism deyiladi
vectq = bi + cj + dk
q = a + bi + cj + dk ko’rinishdagi barcha sonlar kvaternionlar to’plamini tashkil etadi. Q: q Q
Ba’zida kvaternionlar ikkilantirilgan kompleks sonlar sistemasi deb ataluvchi jarayon orqali kiritaladi. Shuning uchun , xususiy holda boshqa sonlar sonlar sistemasi bilan birga, quyidagi ikkilantirish tartibi bilan, kvaternionlar giperkompleks sonlar deb ataladi.