Mamirov Xusanning Kvaternionlar halqasi va uning tatbiqlari

2-ta’rif. Agar barcha larda bo’lsa, halqa nol harakteristikali,birorta da bo`lganda esa halqa harakteristikali halqa deyiladi.
Sonli halqalarning barchasi nol harakteristikali halqa ekanligi o’z-o’zidan
ayon.
Misollar. 
1. Butun sonlar to’plami ratsional sonlar halqasi uchun qism halqa bo’ladi.
2.  va  butun sonlar bo’lgan ko’rinishdagi elementlar to’plami haqiqiy sonlar halqasining qism halqasi bo’ladi.
Haqiqatan,
a)

b)
Bu halqani biz Z [ ] deb yuritamiz.
Endi halqaga oid misollar ko’rsak.
1-misol.
L to’plam berilgan bo’lsin:

L to’plam qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil etadimi?
Buni bilish uchun berilgan to’plamni halqa shartlariga tekshiramiz:
1.Assotsiativlik sharti.
uchun .
Shunga ko`ra


Shart bajarildi.
2.Neytral element mavjudligi.

3.Simmetrik elementning mavjudligi.

4.Kommutativlik sharti.


5.Distributivlik sharti.

=
+ + .
Distributivlik sharti bajarilmadi, chunki .
Demak, L to`plam qo`shish va ko`paytirish amali bilan birgalikda halqa tashkil etmas ekan.

2-misol - } to’plamni halqa tashkil etishini isbotlang.
Yechish. Halqa ta’rifiga ko’ra berilgan to’plamda qo’shish va ko’paytirish amallari aniqlangan bo’lishi hamda bu amallarga nisbatan quyidagi xossalar bajarilishikerak:
1. additiv abel gruppa.
2 multiplikativ gruppoid.
3.
to’plam undaaniqlangan qo’shish amaliga nisbatan additiv gruppa tashkil etadi. to’plamda ko’paytirish amali aniqlangan. Demak, 3-shartni hamda qo’shish amalining kommutativligini isbotlash qoldi.
1. to’plamning elementlari berilgan bo’lsin.U holda
= =


Ko’paytirish amali kommutativlik xossasiga ega emas. Shuning uchun distributivlikning ikkinchisini-chapdan ko’paytirishni ham isbotlaymiz:
2.

3. To’plamning ixtiyoriy ikkita elementlari berilgan bo’lsin:
u holda.

Demak halqa.