Mamirov Xusanning Kvaternionlar halqasi va uning tatbiqlari

5-ta’rif. Agar ko’paytuvchi elementlar n ta bo’lib, ular o’zaro teng bo’lsa, hosil bo’lib, bu ko’paytma ko’rinishda belgilanadi. Unga butun musbat darajali element deyiladi.
Endi distributivlik qonunidan kelib chiqadigan ba’zi bir natijalarni ko’rib o’tamiz. Bu qonunni chekli sondagi qo’shiluvchilar uchun o’rinli ekanligi matematik induksiya prinspi asosida isbotlanadi. Bu qonun ayirish amaliga nisbatan ham saqlanadi.
Haqiqatan, ayirmaning aniqlanishiga asosan element uchun
tengliko’rinli.
Uning ikkala tomonini  ga ko’paytiramiz va qo’shishning ko’paytirishga nisbatan distributivligidan ni hosil qilamiz. Bundan element dan ning ayirmasi ekanligi kelib chiqadi.
Demak, halqada ko’paytuvchilarning biri nol element bo’lsa, ko’paytma ham nol element bo’lar ekan.
Lekin ba’zi hollarda bu tasdiqning teskarisi o’rinli bo’lmaydi. Masalan,
,
matritsalarni olsak, ularning har biri nol matritsa emas. Ammo ularning ko’paytmasi nol matritsadir.

6-ta’rif. Halqada bo’lganda o’rinli bo’lsa, u holda  va  elementlar nolning bo’luvchilari deyiladi.
Odatda, halqaning nol elementi ham nolning bo’luvchisi deb yuritiladi.
7-ta’rif. Agar halqada nolning o’zidan boshqa nolning bo’luvchilari mavjud bo’lmasa, bunday halqa nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan halqa deyiladi, ya’ni

bo’lsa.
Misol: 1. (-1,1) oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiyalar to’plami qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa bo’ladi. Biz mazkur funksiyalardan ikkitasini quyidagi usulda olamiz:


O’z-o’zidan ma’lumki, bu funksiyalarning har biri noldan farqli, lekin
ularning ko’paytmasi

bo’ladi.

Yuqoridagi misolga binoan halqa nolning bo’luvchilariga ega bo’lar ekan.

2.Barcha butun sonlar to’plami kommutativ halqa bo’ladi, chunki bu to’plam qo’shish amaliga ko’ra abel gruppasidan iborat bo’lib, unda ko’paytirish amali yopiq va butun sonlarni ko’paytirish assotsiativ hamda bu amal qo’shishga nisbatan distributivdir.
3.Barcha juft sonlar to’plami halqa bo’ladi.
4.Barcha toq sonlar to’plami halqa bo’lmaydi, chunki ikkita toq son yig’indisi bu to’plamga tegishli emas.
5.Kompleks sonlar to’plami kommutativ halqa bo’ladi, chunki bu to’plamda ham halqaning barcha aksiomalari o’rinli bo’ladi.
Bu halqalar odatda sonli halqalar deb ataladi. Sonli halqalarning birortasi ham nolning bo’luvchilariga ega emas.


6. A  { } to’plam ham nolning bo’luvchilariga ega bo’lgan halqadir. Bu yerda lar modul bo’yicha chegirmalar sinflaridan iborat.