Mamirov Xusanning Kvaternionlar halqasi va uning tatbiqlari

Izoh: Kvaternionlar algebrasi kommutativ bo‘lmagan, ammo assosiativ algebradir.
Teorema. (Frobenius teoremasi) R haqiqiy sonlar maydoni ustida bo‘lish amali bajariladigan rangi n ga teng assosiativ A algebraning rangi 1, 2 yoki 4 bo‘ladi. Bunda

• 
  n=1 bo‘lsa, u holda A algebra R ga izomorf bo‘ladi;
  
• 
  n=2 bo‘lsa, u holda A algebra C ga izomorf bo‘ladi;
  
• 
  n=4 bo‘lsa, u holda A algebra ga izomorf bo‘ladi;
  

Bu yerda R-haqiqiy sonlar maydoni, C-kompleks sonlar maydoni, -kvaternionlar algebrasi.

№	Chiziqli algebra	Elementlari	Rangi	Bazisi
1.	Haqiqiy sonlar algebrasi	Haqiqiy sonlar	1	1
2.	Kompleks sonlar algebrasi	Kompleks sonlar	2	1,
3.	Kvaternionlar algebrasi	Kvaternionlar	4	1,

KVATERNIONLARNING GEOMETRIK IFODALANISHI
Barcha kvaternion to’plamlarni qanoatlantiruvchi geometrik obraz hali aniqlanmagan. Kvaternion algebralar o’lchamlari soni va bu o’lchamlardan birini ko’rsatib o’tish, kvaternion birliklar oldidagi koeffitsientlar xuddi fizik makon va zamon kontiniumida nuqtalarning koordinatalarini tushunishga undaydiganag o’xshaydi. Biroq bunday to’g’ri chiziqli yechim shoshqaloqlik bo’ladi. Har bir kvaternion algebradagi birlikning dekart o’qini ma’lum yo’nalish bilan bog’liqligi (kompleks sonlarni ifodalash kabi) unchalik umumiy emasligi ko’rinadi.
Asl vektor kvaternionlarning geometrik ifodalanishi ancha oson. Buning uchun quyidagilarni bilish yetarli, ya’ni ikki vektor kvaternion
ko’paytmasida:
Skalyar qismidagi dekart koordinatadagi ikki vektorning skalyar ko’paytmasiga o’xshash ifoda mavjud, vektor qismida esa – vektor ko’paytmaga o’xshash ifoda; shunday xulosaga kelinadi:
Mavhum kvaternion birliklar o’ng dekart koordinata sistemasi yo’nalishini aniqlaydi, ular oldidagi koeffitsientlar esa shu koordinata sitemasidagi vektorning komponentlaridir.
U.Gamilton tomonidan vector kvaternionlarga berilgan bu tushuntirish Maksvell tomonidan uning elektrodinamik tenglamasini yozishda ishlatilgan. O.Xevisayd va D.Gibbsning nokvaternion bayonida vektor algebra bergan.
Skalyar va vektor qismga ega, lekin moduli birga teng bo’lgan kvaternionlar o’zgach geometrik obrazga ega. Bunday normallangan kvaternionlarning ko`rinishi quyidagicha:

h ning vektor qismi esa quyidagicha tasvirlanishi mumkin:


Agar quyidagicha o`zgartirish kiritsak,

normallangan kvaternion h oddiy ko’rinishga keladi,ya’ni;

Kompleks sonlarning odatiy ifodalanishidan farqli, bu yerda “mavhum birlik” u uzunlikka ega o’lchamli vector ma’nosiga ega.
Biror vektor kvaternion , u ga ortogonal yo’nalgan bo’lsin. U holda ko’paytmaning skalyar qismi uv nolga teng uv = 0 yoki scal(uv) = 0, uv vektor qismi esa w vector kvaterniondir. u va v ortogonal: yoki vect(np) = w, ww = -1. Chapdan vector kvaternion ga ko’paytmasini:
h = (cos ) =v = (
Geometrik o’rnini vektor burchakka (soat miliga qarshi) yo’nalish bo’yicha o’q atrofida burulishi ekaniga ishonch hosil qilish qiyin emas. Shunday qilib, normallangan kvaternionning geometrik obrazi sifatida aylana yoyi mos qo’yilishi mumkin(yoki sferaning katta aylanasi yoyi). Bunday yoyni unga mos burchak va aylana tekisligiga normal bo’lgan yo’nalgan birlik vektor orqali harakterlash mumkin.
Ko’rinib turibdiki, normallangan kvaternionni ortogonal vektor kvaternion fazoga ko’paytmsi berilgan vektorni burilishi va uning uzunligini chap ko’paytuvchi moduliga teng marta o’zgarishiga olib keladi.
Berilgan ma’lumotlardan foydalangan holda, ko’rinishdagi ko’paytma, bu yerda q, p - ixtiyoriy skalyar bo’lmagan kvaternion(ya’ni vektor qism bilan) modul va skalyar qismlari modulga va p skalyar qismga teng kvaternion ekanini ko’rsatish mumkin. vektor qismi vect(p) ni cosinus bo’yicha vect(q) o’q atrofida q ni harakterlovchi ikkilangan burchakka aylanishidan hosil bo’ladi. shunga o’xshash, fazodagi kvaternionlarning ko’rinishi va aylanishining qayta o’zgartirilishi: sferik geometriyadagi o’zaro munosabatlarni nisbatan oddiy xulosalanish (ifodalanish) chekli burilishlarni ta’riflash va qattiq jismni orientirlash kabi kinematik masalalarni yechishda ishlatiladi.
Kvaternionni aylana yoyi yoki fazoviy burilish yoyi bilan birlashmalarida mavhum birliklar asosiy o’rin egallaydi. Aslida, agar normallangan kvaternion sifatida haqiqy birlik olinsa, = 0 yoy uzunligi ham nolga teng bo’ladi. Yo’nalishi aniqlanmagan va haqiqiy birlik bilan ko’paytirilganda hech qanday vector kvaternion burilishi kuzatilmaydi. Aksincha, mavhum birlikda, masalan, normallangan va fazoviy yo’nalagan kvaternion k ga aylana uzunligining to’rtdan bir qismiga teng uzunlikdagi yoy mos keladi, k birlik unga orthogonal vector kvaternionni “aylantiradi”, masalan, birlik ni burchakka va uni j ga o’zgartiradi:
j = ki.
Boshqacha qilib aytganda, ixtiyoriy uch mavhum kvaternion birliklardan biri qolgan ikkitasining vector ko’paytmasi natijasidir va bundan aksial fazoviy vector xossalari kelib chiqadi. Bunday yo’naltiruvchi vectorli dekart sitema koordinata sistemasidan matematik farq qiladi. Shunday qilib,vektorlarning kvaternion (nokommutativ) tavsifi va ”an’anaviy” kommutativ ko’paytmali vektor algebrasi orasidagi farqni ta’kidlab o`tish mumkin.