Maktab matematika olimpiadasi

Yechimlar 

1.  Mumkin emas. Bitta 1×2 domino ikkita qo‘shni katakni to‘ldiradi, ya’ni bitta oq 

va bitta qora. 64 ta katakdan ikkitasi bo‘sh qolishi uchun 31 dona 1×2 domino 

kerak.  Dominolarni  qanday  joylashtirishdan  qat’iy  nazar  yakunda  bitta  oq  va 

bitta qora katak bo‘sh qolishi aniq. A1 va H8 kataklarning esa ikkalasi ham qora. 

Demak, buni amalga oshirib bo‘lmaydi. 

 

2.  Qabila alifbosidagi (6 ta) harflardan tuzilgan 6 harfli barcha harflar ketma-ketligi 

6

6

 ta. Lekin shu  harflar ketma-ketligidan 6! tada harflar takrorlanmaydi ya’ni 

barcha  harflar  bir  martadan  qatnashadi.  Masala  shartiga  ko‘ra  esa  bunday 

harflar  ketma-ketligi  so‘z  hisoblanmaydi.  U  holda  qabilada  6

6

− 6!  ta  so‘z 

mavjud. 

 

3.  8-9 sinf 3-masalasining yechimiga qarang. 

 

4.  𝑛 ta ko‘paytuvchidan iborat 𝑃 ni quyidagicha soddalashtiraylik: 

𝑃 = (1 + 2)(3 + 4 + 5)(6 + 7 + 8 + 9) … = 

= (1 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 6) ⋅ (3 ⋅ 10) ⋅ … = 

= (1 ⋅ (1 + 2)) ⋅ (2 ⋅ (1 + 2 + 3)) ⋅ (3 ⋅ (1 + 2 + 3 + 4)) ⋅ … 

⋅ (𝑛 ⋅ (1 + 2 + ⋯ + 𝑛 + (𝑛 + 1))) 

---

 

Har bir guruhdagi birinchi ko‘paytuvchilarni alohida, ikkinchi ko‘paytuvchilarni 

alohida guruhlab ko‘paytirsak, 

𝑃 = (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ 𝑛) ⋅ (1 + 2) ⋅ (1 + 2 + 3) ⋅ … ⋅ (1 + 2 + ⋯ + 𝑛 + (𝑛 + 1)) = 

= 𝑛! ⋅

2 ⋅ 3

2

⋅

3 ⋅ 4

2

⋅

4 ⋅ 5

2

⋅ … ⋅

(𝑛 + 1) ⋅ (𝑛 + 2)

2

= 

= 𝑛! ⋅

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ (𝑛 + 1) ⋅ (𝑛 + 1) ⋅ (𝑛 + 2)

2

𝑛

= 𝑛! ⋅

(𝑛 + 1)!

2

𝑛

⋅

1

2

⋅ (𝑛 + 2)! = 𝑛! ⋅

(𝑛 + 1)! (𝑛 + 2)!

2

𝑛+1

= 

=

𝑛! ⋅ 𝑛! ⋅ (𝑛 + 1) ⋅ 𝑛! ⋅ (𝑛 + 1) ⋅ (𝑛 + 2)

2

𝑛+1

=

(𝑛!)

3

⋅ (𝑛 + 1)

2

⋅ (𝑛 + 2)

2

𝑛+1

 

 

5.  Masala shartiga mos chizma chizib 

olaylik. Bizga ma’lumki, har qanday 

uchburchakning  ichki  burchaklari 

yig‘indisi  180°  ga,  har  qanday 

to‘rtburchakning ichki burchaklari 

yig‘indisi esa 360° ga teng. 𝐴𝐹𝐷 va 

𝐵𝐻𝐶 

uchburchaklarga 

e’tibor 

qarataylik.  𝐴𝐹𝐷  uchburchakda 

∠𝐹 = 180° − (

∠𝐴

2

+

∠𝐵

2

). 

𝐵𝐻𝐶 

uchburchakda  esa  ∠𝐻 = 180° −

(

∠𝐵

2

+

∠𝐶

2

).  Endi  esa  𝐸𝐹𝐺𝐻  to‘rtburchakning  𝐹  va  𝐻  burchaklarini  qo‘shsak:  

∠𝐹 + ∠𝐻 = 180° − (

∠𝐴

2

+

∠𝐷

2

) + 180° − (

∠𝐵

2

+

∠𝐶

2

) =

= 360° − (

∠𝐴

2

+

∠𝐷

2

+

∠𝐵

2

+

∠𝐶

2

) = 

= 360° −

1

2

(∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 + ∠𝐷) = 360° −

1

2

⋅ 360° = 180° 

𝐸𝐹𝐺𝐻 to‘rtburchakning qarama-qarshi burchaklari yig‘indisi 180° ga teng ekan. 

Demak  bu  to‘rtburchakka  tashqi  aylana  chizish  mumkin.  U  holda  𝐸,  𝐹,  𝐺,  𝐻 

nuqtalar bitta aylanada yotadi. Isbot yakunlandi.