Maktab matematika olimpiadasi

Yechimlar 

1.  Bir nechta butun sonlarning ko‘paytmasi 1 ga teng bo‘lishi uchun bu sonlarning 

har biri 1 ga yoki juft sontasi −1 ga, qolganlari 1 ga teng bo‘lishi kerak. Aks holda 

ko‘paytma  1  ga  teng  bo‘lmaydi.  Ushbu  masalada  22  ta  butun  sonning 

ko‘paytmasi 1 ga teng ekan. Ularning ko‘paytmasini 0 ga teng bo‘ladigan qilib 

tanlashga harakat qilaylik. Jami 22 ta butun sondan bir nechtasi 1 va yana bir 

nechtasi -1 ga teng ekani hamda -1 larning soni juft ekani ma’lum. Bunday 22 ta 

sonning yig‘indisi 0 ga teng bo‘lishi uchun 1 lar va -1 lar soni teng bo‘lishi kerak. 

Lekin  22  ni  ikkita  teng  juft  sonning  yig‘indisi  ko‘rinishida  ifodalab  bo‘lmaydi. 

Demak,  sonlarni  qanday  tanlab  olishimizdan  qat’iy  nazar  bu  sonlarining 

yig‘indisi 0 ga teng bo‘lmaydi. 

 

2.  Ushbu  

       

 

shablon  to‘rt  xonali  sonlarning  umumiy  ko‘rinishi  bo‘lsin.  Biz  qidirayotgan 

“ajoyib” sonlar barcha raqamlari toq ekani bilan boshqa sonlardan ajralib turadi. 

Bizda 5 ta toq raqam mavjud: 1; 3; 5; 7; 9. Demak har bir xonaga 5 xil raqam 

joylashishi mumkin ekan. Birinchi xonada turgan 5 xil toq raqamning har biriga 

ikkinchi xonadagi 5 tadan toq raqam mos keladi. Hozircha 25 xil kombinatsiya 

amalga oshirildi. Birinchi va ikkinchi xonalarga joylashtirilgan raqamlarning (25 

ta ikki xonali sonning) har biri uchun uchinchi xonaga ham 5 xil raqam qo‘yish 

mumkin. Demak uchta xonani 125 xil usulda to‘ldirish mumkin ekan. Xuddi shu 

tartibda  davom  etib,  to‘rtta  xonani  5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625  xil  usulda  toq  raqamlar 

bilan to‘ldirib chiqish mumkinligini aniqlash mumkin. Bundan ko‘rinadiki to‘rt 

xonali “ajoyib” sonlar 625 ta. 

---

 

3.  𝑝 va 𝑞 turli tub sonlar bo‘lsa, 𝑝

𝑛

 ning bo‘luvchilari 1; 𝑝; 𝑝

2

; 𝑝

3

; … ; 𝑝

𝑛

 ya’ni 𝑛 + 1 

ta,  𝑞

𝑚

  ning  bo‘luvchilari  1; 𝑞; 𝑞

2

; 𝑞

3

; … ; 𝑞

𝑚

  ya’ni  𝑚 + 1  ta  bo‘ladi.  𝑝

𝑛

𝑞

𝑚

  ning 

bo‘luvchilari  sonini  hisoblaymiz.  Quyidagi  jadvalning  birinchi  satriga  𝑝

𝑛

  ning 

bo‘luvchilarini, birinchi ustuniga esa 𝑞

𝑚

 ning bo‘luvchilarini yozib chiqaylik va 

jadvalning qolgan kataklarini mos kataklardagi bo‘luvchilar ko‘paytmasi bilan 

to‘ldirib chiqaylik. 

(

1

⋯

𝑝

𝑛

⋮

⋱

⋮

𝑞

𝑚

⋯ 𝑝

𝑛

𝑞

𝑚

) 

Bunda jadval 𝑝

𝑛

𝑞

𝑚

 ning barcha bo‘luvchilari bilan to‘ladi. Sezish qiyin emaski 

jadvalga  jami  (𝑛 + 1)(𝑚 + 1)  ta  son  yozildi.  Demak  𝑝

𝑛

𝑞

𝑚

  ko‘paytmaning 

bo‘luvchilari soni (𝑛 + 1)(𝑚 + 1) ta ekan. 

 

4.  Istalgan  kishining  ikkala  qo‘shnisi  ham  o‘g‘il  bola  bo‘lmasligi  uchun  ularni 

qanday joylashtirish kerakligi haqida o‘ylab ko‘raylik. Buning uchun aylana stol 

bo‘ylab  ketma-ket  ikkita  qiz  va  bitta  o‘g‘il  bola  o‘tirishi  kerak.  Ana  shunday 

joylashuvdagina  ixtiyoriy  kishining  ikki  yonidagi  qo‘shnilari  faqat  o‘g‘il 

bolalardan iborat bo‘lmaydi. Lekin qiz bolalarning soni ham, o‘g‘il bolalarning 

soni ham 25 ta ekanini inobatga olsak, ularni yuqoridagi usulda joylashtirganda 

bir  qancha  o‘g‘il  bolalar  ketma-ket  o‘tirishiga  to‘g‘ri  keladi.  Demak,  hech 

bo‘lmaganda kimningdir ikkala qo‘shnisi ham o‘g‘il bola bo‘lar ekan. 

 

5.  Ixtiyoriy  uchta  ketma-ket  natural  sonlardan  bittasi  3  ga  qoldiqsiz  bo‘linishi, 

bittasini  3  ga  bo‘lganda  1  qoldiq  qolishi  va  oxirgisini  3  ga  bo‘lganda  2  qoldiq 

qolishi ma’lum. Ularni 3𝑘, 3𝑘 + 1, 3𝑘 + 2 ko‘rinishida yozish mumkin. Bu uchta 

son kublarining yig‘indisi:  

(3𝑘)

3

+ (3𝑘 + 1)

3

+ (3𝑘 + 2)

3

= 

= 9𝑘

3

+ (27𝑘

3

+ 27𝑘

2

+ 9𝑘 + 1) + (27𝑘

3

+ 54𝑘

2

+ 36𝑘 + 8) = 

= 63𝑘

3

+ 81𝑘

2

+ 45𝑘 + 9 = 

= 9 ⋅ (7𝑘

3

+ 9𝑘

2

+ 4𝑘 + 1) 

Bu  son  9  ga  karrali  ekani  ko‘rinib  turibdi.  Demak,  ixtiyoriy  uchta  ketma-ket 

natural son kublarining yig‘indisi 9 ga bo‘linadi. 

 

---