M. M. Mirsaidov, P. J. Matkarimov, A. M. Godovannikov materiallar

6- §. Bosh inersiya o‘qlari va bosh inersiya momentlari

 

 

O‘qlarga nisbatan topilgan inersiya momentlarni (3.24), (3.25) 

qo‘shsak, u holda  

(

) (

)

α

α

α

α

2

2

2

2

sin

cos

sin

cos

1

1

2

2

+

+

+

=

+

y

x

y

x

I

I

I

I

 

yoki 

ρ

I

I

I

I

I

y

x

y

x

=

+

=

+

1

1

2

2

                                       (3.27) 

bo‘lib, o‘qlarga nisbatan inersiya momentlar yig‘indisi 

α

 burchakka 

bog‘liq bo‘lmay, u o‘zgarmasdan qolar ekan. Ammo ularning har biri 

alohida o‘zgarishi mumkin. Bundan quyidagicha xulosa qilish mumkin: 

o‘qlarni 

α

 

burchakka burib shunday holatni aniqlash mumkinki, unda 

o‘qqa nisbatan inersiya momentlaridan biri eng katta, ikkinchisi esa eng 

kichik qiymatga ega bo‘ladi. Bu inersiya momentlar bosh inersiya 

momentlar deyilib, ular aniqlangan o‘qlar esa bosh inersiya o‘qlari deb 

ataladi (3.16-rasm). Agar bosh o‘qlar tekis kesimning og‘irlik markazi 

orqali o‘tsa, u holda inersiya momentlar – bosh markaziy inersiya 

momentlar, o‘qlar esa bosh markaziy o‘qlar deyiladi. 

Bosh o‘qlarning holatini, ya’ni 

x

2

,y

2

 

o‘qlari bosh o‘qlar bilan 

ustma-ust tushadigan 

0

α

  burchakni aniqlash uchun (3.24) yoki (3.25) 

lardan birortasini 

α

  burchak funksiyasi deb qarab, birinchi tartibli 

hosilasini olsak, u holda 

(

)

(

)

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

2

cos

2

2

sin

2

cos

2

cos

sin

2

cos

sin

2

2

sin

sin

cos

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

I

I

I

I

I

I

I

I

I

d

d

d

dI

⋅

−

−

=

−

+

+

−

=

−

+

=

 

hosil bo‘ladi. 

Bu ifodalarni soddalashtirib, uning qiymatini nolga tenglasak 

0

2

cos

2

sin

2

1

1

1

1

=

+

−

α

α

y

x

y

x

I

I

I

                          (3.28) 

bo‘ladi. 

 

---

 

91

 

 

3.16-rasm. Bosh inersiya o‘qlari vaziyatini aniqlash. 

 

Bu natija (3.28) ni (3.26) bilan 

α=α

0

 bo‘lganda solishtirsak 

(

)

0

2

0

1

1

0

1

=

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

α

α

α

α

α

y

x

x

I

d

dI

 

bo‘lib, 

( )

0

0

1

1

=

=

α

α

y

x

I

 

kelib chiqadi. 

Bundan ko‘rinadiki, bosh o‘qlarga nisbatan markazdan qochma 

inersiya moment nolga teng bo‘lib, aksincha markazdan qochma 

inersiya moment nolga teng bo‘lgan o‘qlar bosh inersiya o‘qlari bo‘lar 

ekan.  

Demak, ixtiyoriy ikkita o‘zaro tik o‘qlardan biri kesimning 

simmetriya o‘qi bo‘lsa, y o‘q bosh o‘qlardan biri bo‘lib, kesimning 

og‘irlik markazi orqali o‘tuvchi simmetriya o‘qi esa bosh markaziy o‘q 

bo‘ladi. 

Endi (3.28) dan 

α

0

  burchakni topsak u 

1

1

1

1

2

2

0

y

x

y

x

I

I

I

tg

−

−

=

α

  bo‘ladi                                    (3.29) 

Bu yerda 

0

α

,  

x

1

, 

 

y

1

 o‘qlarini bosh o‘qlar bilan ustma-ust tushishi 

uchun burish kerak bo‘lgan burchakni ifodalaydi. Kelgusida 

α

ni 

α

0

 

orqali belgilaymiz. Agar 

α

0

 burchak musbat bo‘lsa, u holda 

x

1

y

1

 

o‘qlarini soat strelkasiga qarshi yo‘nalishda burish kerak bo‘ladi.  

---

 

92

Bosh inersiya o‘qlarining biri maksimum o‘qi (unga nisbatan 

olingan inersiya momentining qiymati eng katta bo‘ladi), ikkinchisi esa 

minimum (unga nisbatan olingan inersiya momentning qiymati eng 

kichik bo‘ladi) o‘qidir. 

Maksimum o‘qi doimo (

x

1 

yoki 

y

1

) o‘qqa nisbatan olingan inersiya 

momentlarning katta qiymati bilan kichik burchak tashkil etadi. Ushbu 

holat bosh inersiya o‘qlaridan qaysi biri maksimum, qaysinisi minimum 

ekanligini aniqlashga yordam beradi.  

Masalan, agar 

I

y

 

› I

x

 bo‘lib, 

U

 va 

V

  bosh inersiya o‘qlari bo‘lsa 

(3.16-rasm), u holda 

U

 o‘qi maksimum o‘qi 

V 

o‘qi esa – minimum o‘qi 

bo‘ladi (chunki «

y

» bilan «

U

» orasidagi burchak 

β

, «

x

» bilan «

U

» 

orasidagi 

α

  burchakdan kichik).  

Bosh inersiya momentlarining qiymatlarini, (ya’ni inersiya 

momentlarining eng katta va eng kichik qiymatlarini) topish uchun 

α

 

burchakka nisbatan (3.24) va (3.25) dan birinchi tartibli hosila olib uni 

nolga tenglaymiz: 

.

0

;

0

2

2

=

=

α

α

d

dI

d

dI

y

x

                                                 (3.30) 

Olingan natijadan 

α

  burchakni yo‘qotsak, u holda  

I

max

 va 

I

min 

 

qiymatlarini topish uchun quyidagi formula hosil bo‘ladi. 

(

)

2

2

4

2

min

max

xy

y

x

y

x

I

I

I

I

I

I

I

V

U

+

−

±

+

=

=

                      (3.31) 

Bu yerda (+) ishora olinsa 

I

max

, (–) ishora olinsa 

I

min

 topiladi. 

Tekis kesim tekisligining ixtiyoriy nuqtasidan unga mos ravishda 

bosh inersiya o‘qlarini o‘tkazish mumkin. Ammo konstruksiya 

elementlarini hisoblashda faqat kesim og‘irlik markazidan o‘tuvchi bosh 

o‘qlar, ya’ni bosh markaziy inersiya o‘qlari amaliy ahamiyatga ega 

bo‘ladi.  Shuning uchun kelgusida bosh markaziy inersiya momentlarni 

I

max

  

va 

 

I

min

 orqali ifodalaymiz. 

Bosh inersiya momentlariga tegishli bo‘lgan bir nechta xususiy 

hollarni ko‘ramiz. 

1. Agar 

I

x

= I

y

 va 

I

yx

 = 0

 bo‘lsa, u holda koordinata sistemasini 

ixtiyoriy burish orqali hosil bo‘lgan o‘qlar bosh inersiya o‘qlari bo‘lib, 

bu holda  

I

x

 = I

y

 = I

max

 = I

min

 = const                         

bo‘ladi. 

2. Ikkitadan ortiq simmetriya o‘qiga ega bo‘lgan kesimlar uchun 

markaziy o‘qlarga nisbatan olingan inersiya momentlar o‘zaro teng 

bo‘ladi.  

---

 

93

Bunday kesimlarga teng tomonli uchburchak, kvadrat, ixtiyoriy 

muntazam ko‘pburchak, doira va boshqa tekis kesimlar misol bo‘lishi 

mumkin.  

3. Agar 

.

'

45

;

2

,

'

0

0

ladi

bo

teng

ga

tg

holda

u

lsa

bo

I

va

I

I

xy

y

x

=

∞

=

≠

=

α

α

 

Bu holda bosh o‘qlar inersiya momentlari aniqlangan 

xy 

o‘qlariga 

nisbatan 45

0

 burilgan bo‘ladi.  

 

7- §. Murakkab tekis kesimlar bosh markaziy o‘qlarining holatini 

va bosh markaziy inersiya momentlarini aniqlash 

 

Aksariyat hollarda tekis kesimlarning geometrik 

xarakteristikalarini aniqlashda bosh markaziy o‘qlarning holatini va 

bosh markaziy inersiya momentlar qiymatlarini topish hisoblashning 

asosiy maqsadlaridan biri bo‘ladi. «Sodda» kesimlar uchun ushbu 

ma’lumotlarning qiymatlari yuqorida  keltirilgan formulalar yordamida 

topiladi. Standart po‘latli prokat profillar uchun inersiya momentlarining 

qiymatlari sortament jadvallarida keltirilgan bo‘ladi. 

Sodda shakllar yig‘indisidan iborat bo‘lgan murakkab kesim uchun 

ushbu xarakteristikalarni quyidagicha aniqlash maqsadga muvofiq: 

1. Murakkab tekis kesimlarning geometrik xarakteristikalarini 

aniqlash uchun ularni oldindan ma’lum bo‘lgan formulalar, qonuniyatlar 

yoki jadvaldan aniqlash mumkin bo‘lgan bir nechta sodda  bo‘laklarga 

ajratiladi. Murakkab kesimni sodda bo‘laklarga ajratish usuli yakuniy 

natijaga ta’sir etmasligini 3-§ da ko‘rdik. 

2. Murakkab kesim (2-§da ko‘rsatilgandek) og‘irlik markazining 

holati aniqlanib, bu nuqtadan ixtiyoriy 

x

c

, y

c

 markaziy o‘qlarni 

o‘tkazamiz. Bu 

x

c

, y

c

 

o‘qlar murakkab kesim uchun bosh o‘qlar 

bo‘lmaydi, lekin bu o‘qlar murakkab kesimni tashkil etuvchi sodda 

kesimlarning bosh markaziy o‘qlarining ko‘pchiligiga parallel bo‘lishi 

kerak. 

3. Tanlab olingan 

x

c

, y

c

 markaziy o‘qlarga nisbatan sodda 

kesimlarning, keyin murakkab kesimning inersiya momentlarini 

I

I

I

y

x

y

x

c

c

c

c

,

,

 shu sodda kesimlar inersiya momentlarining yig‘indisi 

sifatida topamiz. Bunda (3.22) va (3.24)–(3.26) formulalardan 

foydalanamiz. 

---

 

94

4. Murakkab kesim uchun markaziy inersiya momentlarining 

qiymatlari 

I

I

I

y

x

y

x

c

c

c

c

,

,

 va (3.29) formuladan foydalanib, 

x

c

, y

c

 

o‘qlarni 

U, V

 deb belgilanuvchi bosh markaziy o‘qlar bilan ustma-ust 

tushishi uchun burish kerak bo‘lgan burchak, ya’ni 

 

α

0 

ning qiymatini 

aniqlaymiz. (Shuni esda tutish lozimki, 

α

0

   

burchakning musbat 

qiymatlarida 

 

x

c

, y

c

 o‘qlarni 

U, V

 o‘qlar bilan ustma-ust tushirish uchun  

soat strelkasiga teskari yo‘nalishda burish kerak. 

5. (3.31) formuladan foydalanib murakkab kesim uchun bosh 

markaziy inersiya momentlarning 

I

max./min.

 yoki 

I

U/V 

 qiymatlarini 

aniqlaymiz. 

 

1-misol. 

3.17-rasmda tasvirlangan 

№

20 shveller va to‘g‘ri 

to‘rtburchakdan tashkil topgan murakkab kesim uchun markaziy bosh 

o‘qlar va markaziy bosh inersiya momentlar aniqlansin.  

 

 

 

3.17-rasm. Murakkab shakl uchun bosh inersiya momentlari va bosh 

markaziy o‘qlar vaziyatini aniqlash. 

 

To‘g‘ri to‘rtburchakning o‘lchamlari b

t

=

12sm

, 

h

t

=4sm 

bo‘lsin. 

№

20 shveller uchun standart prokatli po‘lat profillar sortamentidan zarur 

h

sh

 

x

c=2,642

  

x

sh

 

x

t

 

d 

y

c

=8,067

  

U

V

x

t

   

z

0

 

b

sh

y

sh

  y

c

 y

t  

 

b

t

 

642

,

2

−

=

с

b

sh

 

288

,

1

=

с

t

b

h

t

y

t  

x

c

 

93

,

3

=

c

t

a

067

,

8

−

=

c

sh

a

30

0

13

=

α

c 

---

 

95

o‘lcham va geometrik xarakteristikalarini olamiz 

h

sh

 = 20 sm, b

sh

 = 7,6 

sm, F

sh

 = 23,4 sm

2

, I

x sh

 = 1520 sm

4

, 

I

y sh

 = 113 sm

4

, z

0

 = 2,07 sm. 

Berilgan murakkab kesim 2 ta sodda kesimdan, ya’ni shveller va 

to‘g‘ri to‘rtburchakdan tashkil topgan. 

x

sh

, y

sh

 

– o‘qlari shvellerning 

markaziy bosh o‘qlari, 

x

t

, y

t

 

– esa to‘g‘ri to‘rtburchak markaziy bosh 

o‘qlaridir. To‘g‘ri to‘rtburchakning geometrik xarakteristikalarini (3.8) 

va (3.9)dan foydalanib topamiz. 

.

576

12

4

12

12

,

64

12

4

12

12

,

48

12

4

4

3

3

4

3

3

2

sm

h

b

I

sm

h

b

I

sm

h

b

F

t

t

y

t

t

x

t

t

t

t

t

=

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

=

 

Markazdan qochma inersiya momenti 

0

=

I

y

x

t

t

, chunki 

x

t

, y

t

 to‘g‘ri 

to‘rtburchakning bosh o‘qlaridir. 

x

sh

, y

sh

 koordinatalar sistemasiga nisbatan murakkab kesim og‘irlik 

markazining koordinatalarini aniqlaymiz: 

Murakkab kesimning yuzasi 

  F = F

sh

 + F

t  

= 23,4 + 48 = 71,4 sm

2

 

Murakkab kesimning statik momentlari 

3

576

2

4

2

20

48

2

2

0

sm

h

h

F

y

F

y

F

S

S

S

sh

sh

t

t

t

sh

sh

t

x

sh

x

x

sh

sh

sh

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

=

⋅

+

⋅

=

+

=

 

3

0

67

,

188

07

,

2

2

12

48

2

0

sm

z

b

F

x

F

x

F

S

S

S

t

t

t

t

sh

sh

t

y

sh

y

y

sh

sh

sh

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

+

=

⋅

+

⋅

=

+

=

 

(

0

,

0

=

=

sh

y

sh

x

sh

sh

S

S

 chunki shveller og‘irlik markazining 

koordinatalari x

sh

=0, y

sh

=0

).

 

  

Murakkab kesim og‘irlik markazining koordinatalari.  

sm

F

S

x

sh

y

c

642

,

2

4

,

71

64

,

188

=

=

=

 

sm

F

S

y

sh

x

c

0672

,

8

4

,

71

576

=

=

=

 

Murakkab kesimning og‘irlik markazi shveller va to‘g‘ri 

to‘rtburchaklarning og‘irlik markazlarini tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziqda 

yotganligi olingan natija to‘g‘riligini ko‘rsatadi.  

Murakkab kesim og‘irlik markazidan 

x

c

, y

c

  koordinata o‘qlarini 

(markaziy o‘qlarni) o‘tkazib, (3.22) formula yordamida uni ushbu 

o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini hisoblaymiz. 

---

 

96

( )

( )

;

2

2

t

с

t

x

sh

с

sh

x

x

F

a

I

F

a

I

I

t

sh

c

⋅

+

+

⋅

+

=

                      (a) 

( )

( )

.

2

2

t

с

t

y

sh

с

sh

y

y

F

b

I

F

b

I

I

t

sh

c

⋅

+

+

⋅

+

=

                          (b) 

Bu yerda, 

с

sh

а

 – shveller og‘irlik markazidan murakkab kesim og‘irlik 

markazigacha bo‘lgan vertikal masofa, (yoki

  x

sh

 va 

x

s

 o‘qlar orasidagi 

masofa); 

с

t

а

   

– to‘g‘ri to‘rtburchak og‘irlik markazidan murakkab kesim 

og‘irlik markazigacha bo‘lgan vertikal masofa, (yoki 

x

t

 va 

x

s

 o‘qlar 

orasidagi masofa); 

с

sh

b

 – shveller og‘irlik markazidan murakkab kesim og‘irlik 

markazigacha bo‘lgan gorizontal masofa, (yoki 

y

sh

 va 

y

c

 o‘qlar orasidagi 

masofa); 

c

t

b

 – to‘g‘rito‘rtburchak og‘irlik markazidan murakkab kesim 

og‘irlik markazigacha bo‘lgan gorizontal masofa, (yoki 

y

t

 va 

y

c

 

o‘qlar 

orasidagi masofa).

 

Bu  o‘lchamlarning son qiymatlari chizmadan aniqlanadi, ya’ni 

,

93

,

3

0672

,

8

2

4

2

20

2

2

,

0672

,

8

sm

y

h

h

y

y

a

sm

y

a

c

t

sh

c

t

c

t

c

с

sh

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

−

=

−

=

−

=

 

.

288

,

1

642

,

2

07

,

2

2

12

2

,

642

,

2

0

sm

x

z

b

x

x

b

см

x

b

c

t

c

t

c

t

c

с

sh

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

−

=

−

=

−

=

 

Bu natijalarni (a) va (b) ga olib borib qo‘ysak, u holda: 

(

)

(

)

(

)

(

)

.

9615

,

931

48

288

,

1

576

4

,

23

642

,

2

113

2201

,

3848

48

93

,

3

64

4

,

23

0672

,

8

1520

4

2

2

4

2

2

sm

I

sm

I

c

c

y

x

=

⋅

+

+

⋅

−

+

=

=

⋅

+

+

⋅

−

+

=

 

Markaziy bosh o‘qlar (

x

c

, y

c

)ga nisbatan murakkab kesimning 

markazdan qochma inersiya momentini aniqlaymiz: 

t

t

t

y

x

sh

sh

sh

y

x

y

x

F

b

a

I

F

b

a

I

I

t

t

sh

sh

c

c

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

+

=

                           (c) 

Bu yerda, 

t

t

sh

sh

y

x

y

x

I

I

,

– murakkab kesimni tashkil etuvchi sodda 

kesim (shveller, to‘g‘ri to‘rtburchak)lar og‘irlik markazlaridan o‘tgan 

o‘qlarga nisbatan ularning markazdan qochma inersiya momentlari 

bo‘lib, ular 

.

0

,

0

=

=

t

t

sh

sh

y

x

y

x

I

I

 

---

 

97

O‘qlar orasidagi masofalarni (c) formulaga qo‘yishdan oldin 

ularning ishoralarini markaziy bosh o‘qlarga nisbatan aniqlash lozim. 

Unga ko‘ra 

c

t

a

 koordinata boshiga nisbatan ordina o‘qining musbat 

qismida, 

с

sh

a

 manfiy tomonida, 

c

t

b

 absissa o‘qining musbat, 

с

sh

b

esa 

koordinata boshiga nisbatan manfiy tomonda joylashganligini ko‘rish 

mumkin (chizmaga qarang). 

Shunga asosan bu qiymatlarni (c)ga olib borib qo‘yamiz: 

(

) (

)

4

7052

,

741

48

288

,

1

93

,

3

4

,

23

642

,

2

0672

,

8

0

sm

I

c

c

y

x

=

⋅

⋅

+

⋅

−

⋅

−

+

=

 

Murakkab kesimning markaziy bosh o‘qlari 

U, V

 holatini markaziy 

o‘qlar (x

c

, y

c

) ga nisbatan aniqlaymiz, (ya’ni uni qanday 

α

0

 burchakka 

burish kerakligini (3.29) orqali aniqlaymiz): 

(

)

0

3

13

2

51

,

0

51

,

0

9615

,

931

2201

,

3848

7052

,

741

2

2

2

0

0

0

′

−

=

−

=

−

=

−

⋅

−

=

−

−

=

arctg

I

I

I

tg

c

c

c

c

y

x

y

x

α

α

 

x

c

 va 

y

c

 koordinata o‘qlarini 

α

0

0

13 30

= −

′

 burchakka soat strelkasi 

bo‘yicha burib, markaziy bosh o‘qlar 

U, V

 ni hosil qilamiz (chizmada 

ko‘rsatilgan). 

(3.31)formuladan foydalanib murakkab kesimning bosh inersiya 

momentlarining qiymatini aniqlaymiz: 

(

)

(

)

(

)

4

2

2

2

1607

,

754

0209

,

4026

7052

,

741

4

9615

,

931

2201

,

3848

2

1

2

9615

,

931

2201

,

3848

4

2

1

2

2

min

max

sm

I

I

I

I

I

I

I

y

x

c

c

c

c

c

c

y

x

y

x

V

U

=

=

⋅

+

−

±

+

=

=

+

−

±

+

=

=

 

4

min

4

max

2

,

754

4026

sm

I

I

sm

I

I

V

U

=

=

=

=