|
4- §. Koordinata o‘qlari parallel ko‘chirilganda inersiya
momentlarining o‘zgarishi
Bizga F yuzaga ega bo‘lgan tekis kesimning (3.13-rasm)
x
1
, y
1
o‘qlarga nisbatan
1
1
1
1
,
,
y
x
y
x
I
I
I
inersiya momentlari ma’lum bo‘lsin.
Ushbu kesimning (3.13-rasm) inersiya momentlarini
x
1
, y
1
o‘qlariga parallel bo‘lgan «yangi»
x
2
,
y
2
o‘qlarga nisbatan topish talab
qilinsin.
Bu yerda
,
,
1
2
1
2
b
x
x
a
y
y
+
=
+
=
bo‘lib, «yangi» koordinata sistemasiga nisbatan inersiya momentlar
quyidagicha bo‘ladi:
86
;
2
)
2
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
dF
a
dF
y
a
dF
y
dF
a
ay
y
dF
a
y
dF
y
I
F
F
F
F
F
F
x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
=
=
+
+
=
+
=
=
3.13-rasm. O‘qlarni parallel ko‘chirganda inersiya momentlarining
o‘zgarishi.
Bu yerda
F
dF
S
dF
y
J
dF
y
F
x
F
F
x
=
=
=
∫
∫
∫
,
,
1
1
1
2
1
bo‘lgani uchun
F
a
S
a
I
I
x
x
x
2
1
1
1
2
+
+
=
(3.19)
Xuddi shu usulda
I
y
2
ni topamiz:
F
b
S
b
I
I
y
y
y
2
1
1
2
2
+
+
=
(3.20)
Markazdan qochma inersiya moment esa
(
)(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
+
=
=
F
F
F
F
F
F
F
dF
ab
dF
y
b
dF
x
a
dF
y
x
dF
ab
by
ax
y
x
dF
b
x
a
y
dF
y
x
y
x
I
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
Bu yerda
,
1
1
1
1
I
y
x
dF
y
x
F
=
∫
∫
∫
∫
=
=
=
F
x
y
F
F
dF
S
dF
y
S
dF
x
,
,
1
1
1
1
bo‘lgani uchun
87
.
1
1
1
1
2
2
abF
bS
aS
I
I
x
y
y
x
y
x
+
+
+
=
(3.21)
Agarda
x
1
, y
1
o‘qlari markaziy
x
c
, y
c
o‘qlardan iborat bo‘lsa (3.14-
rasm), u holda ushbu o‘qlarga nisbatan statik momentlar nolga teng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
0
,
0
1
1
S
S
y
x
bo‘lgani uchun
(3.19), (3.20), (3.21)
formulalar
quyidagi ko‘rinishga keladi:
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
+
=
+
=
+
=
abF
I
I
F
b
I
I
F
a
I
I
c
c
c
c
y
x
y
x
y
y
x
x
2
2
2
2
2
2
(3.22)
Ushbu formulalar amaliy hisoblash ishlarida keng qo‘llaniladi.
3.14-rasm. To‘g‘ri to‘rtburchak uchun o‘qlarni parallel ko‘chirganda
inersiya momentlarining o‘zgarishi.
Agarda kesimning markaziy o‘qlarga nisbatan inersiya momentlari
ma’lum bo‘lsa, u holda
(3.22)
formulalar yordamida bu o‘qlarga parallel
bo‘lgan ixtiyoriy o‘qlarga nisbatan tekis kesimning inersiya
momentlarini topish mumkin. Oldingi 3.3 bo‘limda to‘g‘ri to‘rtburchak
va uchburchakning markaziy va tomonlari bo‘ylab yo‘nalgan o‘qlariga
nisbatan inersiya momentlarini hisoblash formulalari keltirilgan edi. Bu
formulalar (3.6), (3.7), (3.12) da olingan natijalarni (3.22) foydalanib,
tekshirib ko‘rishimiz mumkin.
Misol:
Agar bizga to‘g‘ri to‘rtburchakning (3.14-rasm) markaziy
o‘qlari (x
c
, y
c
) ga nisbatan inersiya momentlari
88
0
,
12
,
12
3
3
=
=
=
y
x
I
h
d
I
dh
I
c
c
с
с
y
x
ma’lum bo‘lsa (3.22) formula
yordamida uning tomonlari orqali o‘tgan x
2
, y
2
o‘qlarga nisbatan
inersiya momentlarini topishni ko‘ramiz.
Bu yerda:
h
d
F
d
b
h
a
=
=
=
;
2
;
2
Bu holda
( )
3
2
12
;
3
12
4
2
12
3
2
3
2
3
3
2
3
2
2
2
hd
h
d
d
hd
F
b
I
I
dh
dh
dh
h
dh
F
a
I
I
x
y
x
x
c
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
4
2
2
0
2
2
2
2
h
d
d
h
dh
abF
I
I
c
c
y
x
y
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
Demak, parallel o‘qlarga nisbatan (3.22) formula yordamida
inersiya momentlarni hisoblash ancha qulaylik tug‘dirar ekan.
5- §. Koordinata o‘qlari burilganda inersiya momentlarining
o‘zgarishi
Bizga
F
yuzaga ega bo‘lgan tekis kesimning (3.15-rasm)
x
1
, y
1
sanoq sistemasida
1
1
1
1
,
,
y
x
y
x
I
I
I
inersiya momentlari ma’lum
bo‘lsin.
3.15-rasm. Koordinata o‘qlari burilganda inersiya momentlarining
o‘zgarishi.
89
Ushbu kesimning shu koordinata boshi atrofida oldingi o‘qlarga
nisbatan
α
burchakka burishdan hosil bo‘lgan
x
2
, y
2
o‘qlarga nisbatan
2
2
2
2
,
,
y
x
y
x
I
I
I
inersiya momentlarini topish talab qilinsin.
Chizmadan:
.
,
,
,
,
,
2
2
2
2
1
1
y
AB
OL
x
AL
OB
y
AB
x
AL
y
AD
x
A
К
=
=
=
=
=
=
=
=
Berilgan
α
burchakning musbat yo‘nalishi deb,
x
2
, y
2
o‘qlarini
x
1
,
y
1
bilan ustma-ust tushishi uchun soat strelkasi yo‘nalishi bo‘yicha
aylantirilishini qabul qilamiz. Ko‘rinib turibdiki, bu holda elementar
yuzachaning koordinatalari o‘zgaryapti demak, inersiya momentlari ham
o‘zgaradi.
Elementar yuzacha
dF
ning koordinatalarini «yangi»
x
2
y
2
koordinata sistemasida «
x
1
,
y
1
» va «
α
» burchak orqali aniqlaymiz.
Geometrik munosabatlardan quyidagilarni yozishimiz mumkin
(3.15-rasm). Bu yerda ACD va OED to‘g‘ri burchakli uchburchaklar,
BCDE to‘g‘ri burchakli to‘rtburchak bo‘lib,
<
E
=
<
B
=
<
C
=
<
D
=
90
0
dir.
Shunga asosan:
α
α
α
α
cos
sin
sin
cos
1
1
2
1
1
2
x
y
DC
OE
EB
=OE
x
x
ED= y
AC
BC
AC
AB
y
+
=
+
=
+
−
−
=
−
=
=
(3.23)
Tekis
F
kesimning
x
2
, y
2
koordinatalar sistemasidagi inersiya
momentlarini (3.20)dan foydalanib, topsak u quyidagicha bo‘ladi:
(
)
(
)
(
)(
)
dF
x
y
x
y
dF
y
x
I
dF
x
y
dF
x
I
dF
x
y
dF
y
I
F
F
F
F
y
F
F
x
y
x
α
α
α
α
α
α
α
α
cos
sin
sin
cos
,
cos
sin
,
sin
cos
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
+
−
=
=
+
=
=
−
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Ushbu ifodalarni soddalashtirib, quyidagilarni hosil qilamiz:
α
α
α
2
sin
sin
cos
1
1
1
1
2
2
2
y
x
I
I
I
I
y
x
x
−
+
=
(3.24)
α
α
α
2
sin
sin
cos
1
1
1
1
2
2
2
I
I
I
I
y
x
x
y
y
+
+
=
(3.25)
90
(
)
α
α
2
cos
2
sin
2
1
1
1
1
1
1
I
I
I
I
y
x
y
x
y
x
+
−
=
(3.26)
Bu (3.24), (3.25), (3.26) formulalar tekis kesimlarning buralgan
o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini topishda keng qo‘llaniladi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
