M. M. Mirsaidov, P. J. Matkarimov, A. M. Godovannikov materiallar

f) 

g) h)

a

P

⋅

1

с

P

⋅

1

b) d) 

e)

а

P

⋅

1

а

P

⋅

1

c

P

⋅

2

x

2

 

z

2

 

B

z

2

 

z

3

 

z

3

 

x

3

 

z

1

y

1

 

x

1

 

b 

c 

P

1

 

P

2

 

 

B 

A 

z

1

 

y

1

 

a) 

y

3

 

A 

а

---

 

69

 

Bu qiymatlarning birortasi z

2

 qiymatiga bog‘liq bo‘lmasdan, 

o‘zgarmas kattaliklardir. 

Uchinchi uchastkada  

 

(

)

с

z

N

P

a

≤

≤

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

 

=

 

 

=

 

=

=

=

=

2

3

1

х

2

Y

1

bur

3

2

eg

Y

3

1

eg

Х

0

,

0

Q

P

 

 

Q

    

P

 

M

       

z

P

 

 

M

       

z

P

 

 

M

3

3

3

3

3

   bo‘lib, 

 

bundan, 

z

3

=0  da,         

,

0

3

=

x

M

     

,

0

3

=

y

M

       

,

2

3

а

Р

М

bur

=

     

,

2

3

P

Q

Y

=

   

,

1

3

P

Q

X

=

    

;

0

3

=

N

 

z

3

= c da,  

,

1

3

с

Р

M

x

=

   

,

2

3

с

P

M

y

=

 

,

2

3

а

Р

М

bur

=

   

,

2

3

P

Q

Y

=

    

,

1

3

P

Q

X

=

    

0

3

=

N

 bo‘ladi. 

 

 

Bu natijalar orqali qurilgan ichki kuchlarning epyuralari 2.26 

d,e,f,g,h-rasmlarda ko‘satilgan. 

Qurilgan epyuralarni to‘g‘riligini tekshirish uchun sistema 

A

 va 

B

 

tugunlarining muvozanatini tekshiramiz (2.27-rasm). 

 

A tugun uchun:                       B tugun uchun: 

 

 

2.27-rasm. Tugunlar muvozanatini tekshirish: 

a) A tugun uchun;  b) B tugun uchun. 

N

2

 

а

Р

M

eg

х

1

2

=

B 

3

y

Q

0 

3

x

Q

P

2

 

N

2

 

а

Р

х

М

eg

1

1

=

Q

x

1

0 

A 

a) 

b) 

а

Р

х

М

eg

1

2

=

---

 

70

 

A tugun uchun (2.27a-rasmdan):                

.

0

,

0

1

1

2

1

1

1

0

1

2

1

=

−

=

−

=

=

−

=

−

=

∑

∑

Р

P

Q

N

Y

a

P

a

P

М

М

M

x

eg

х

eg

х

 

B tugun uchun (2.27b-rasmdan):       

.

0

,

0

,

0

2

2

2

3

1

1

2

2

1

1

3

0

3

3

2

=

−

=

−

=

=

−

=

−

=

=

−

=

−

=

∑

∑

∑

P

P

Q

P

X

P

P

N

Q

Z

a

Р

a

Р

M

М

M

y

x

bur

eg

х

 

Demak, epyuramiz to‘g‘ri qurilgan ekan. 

 

---

 

71

 

 

 

 

 

III bob

 

TEKIS  KESIMLARNING  GEOMETRIK 

XARAKTERISTIKALARI 

 

1- §. Umumiy  ma’lumotlar 

 

Yuqorida ta’kidlab o‘tilganidek, sterjen ko‘ndalang kesimlaridagi 

kuchlanishlarning miqdori va taqsimlanish qonuniyati faqat ichki 

kuchlargagina bog‘liq bo‘lib qolmay, kesimning biror sanoq 

sistemasidagi o‘lchamlari, shakli va kesim yo‘nalishlariga ham bog‘liq 

bo‘ladi. Ushbu kattaliklarni e’tiborga olish uchun tekis kesimlarning 

turli xil geometrik xarakteristikalarini hisobga oluvchi 

dF

y

x

n

F

m

∫

   

ko‘rinishdagi bog‘lanishlar ishlatiladi. 

Buni hisobga olish uchun 

oxy

 koordinatalar sistemasida ixtiyoriy 

tekis kesimdan (3.1-rasm) koordinatasi 

x 

va 

y 

bo‘lgan 

dF

 elementar 

yuzacha ajratamiz. Bu yerda

 m, n 

koordinatasi 

x, y 

bo‘lgan yuzachaning 

har xil geometrik xarakteristikalarini ifodalovchi daraja 

ko‘rsatkichlaridir. 

 

 

 

3.1-rasm. To‘g‘ri burchakli tekis koordinatalar sistemasida olingan tekis 

kesim. 

Agarda 

m = n = 0

  bo‘lsa  

−

=

∫

F

dF

F

 

kesimning yuzasini 

ifodalaydi. Bu geometrik xarakteristika koordinata sistemasining 

holatiga bog‘liq emas.  

---

 

72

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

=

∫

∫

F

x

F

y

ydF=S

lsa

o

n

m

xdF=S

lsa

bo

n

m

'

b

1

,

0

'

0

,

1

  

Agar      

 kesimning 

y

 yoki 

x

 

o‘qlariga nisbatan statik momentlari deyilib, 

[mm

3

, sm

3

, m

3

]

 larda 

o‘lchanadi. 

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=

=

=

=

∫

∫

F

x

F

y

dF=J

y

lsa

o

n

dF=J

x

lsa

o

n

2

2

'

b

2

,

0

m

'

b

0

,

2

m

Agar     

 

kesimning 

y

 yoki 

x

 o‘qlariga nisbatan inersiya momentlari deyilib, 

[mm

4

, sm

4

, m

4

]

 larda o‘lchanadi. 

∫

=

=

F

xy

xydF=J

n

m

бўлса

1

,

1

    

Агар

 kesimning markazdan 

qochma inersiya momenti deyilib, 

[mm

4

, sm

4

, m

4

]

 larda o‘lchanadi. 

Integraldagi 

«F»

 indeksi integrallash butun kesim yuzasi bo‘ylab 

amalga oshirilishini anglatadi. 

Materiallar qarshiligining maxsus masalalarini yechayotganda 

yuqori darajali geometrik xarakteristikalardan ham foydalaniladi. 

Ba’zi hollarda, masalan kesim o‘qqa nisbatan simmetriyaga ega 

bo‘lsa, u holda inersiya momentini qutb koordinata sistemasida 

hisoblash ancha qulaylik tug‘diradi (3.2-rasm). Qutb inersiya momenti 

quyidagicha aniqlanadi:  

dF

I

F

2

ρ

ρ

∫

=

 

Agar qutb va Dekart koordinata sistemalarining boshi bir nuqtada 

joylashgan bo‘lsa, (3.2-rasm) qutb inersiya momenti o‘qqa nisbatan 

inersiya momentlari yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni 

 

                      (3.1) 

Murakkab kesimning geometrik xarakteristikalarini aniqlashda uni 

bir nechta oddiy shakllarga ajratib, har birining geometrik 

xarakteristikalari alohida aniqlanadi va murakkab kesim uchun yakuniy 

---

 

73

geometrik xarakteristika ularning yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Bu 

holdagi natija jismni bo‘laklarga bo‘lishga bog‘liq bo‘lmaydi. 

 

 

3.2-rasm. Qutb va Dekart koordinata sistemalarining boshi bir  nuqtada 

joylashgan tekis sistema. 

 

2- §. Statik  momentlar

 

 

Nazariy mexanika fanida murakkab tekis kesimlarning og‘irlik 

markazlarini aniqlashda statik moment tushunchasidan foydalanilgan 

edi. Demak o‘qqa nisbatan tekis kesim yuzasining (3.3-rasm) statik 

momentlari, kesim yuzasining og‘irlik markazidan koordinata 

o‘qlarigacha bo‘lgan masofani shu kesim yuzasiga ko‘paytmasiga teng 

bo‘ladi, ya’ni statik moment qiymati koordinata o‘qining holatiga 

bog‘liq bo‘lganligi uchun, uning ishorasi musbat, manfiy va qiymati 

nolga teng bo‘lishi mumkin. 

 

 

 

3.3-rasm. To‘g‘ri burchakli tekis koordinatalar sistemasida olingan tekis 

kesim yuzasi. 

 

---

 

74

)

2

.

3

(

⎭

⎬

⎫

⋅

=

⋅

=

c

y

c

x

x

F

S

y

F

S

 

Bundan og‘irlik markazining koordinatalari quyidagicha 

aniqlanadi: 

)

3

.

3

(

/

/

⎭

⎬

⎫

=

=

F

S

y

F

S

x

x

c

y

c

 

Kesim murakkab shaklli bo‘lsa u holda kesim bir nechta 

bo‘laklarga ajratilib uning og‘irlik markazining koordinatalari quyidagi 

formulalar orqali aniqlanadi: 

     

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

n

n

n

c

n

n

n

c

F

F

F

x

F

x

F

x

F

y

F

F

F

y

F

y

F

y

F

x

....

....

....

....

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

  yoki 

x

S

F

y

S

F

c

yi

i

c

xi

i

=

∑

∑

=

∑

∑

⎫

⎬

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

       

(3.4) 

Bu yerda, 

F

1

, F

2

.... F

n

 – har bitta bo‘lakning yuzasi; 

x

1

, x

2

, .... x

n

, 

y

1

, y

2

, .... y

n

 

– bo‘laklar og‘irlik markazlarining koordinatalari. 

Har doim kesimning og‘irlik markazidan o‘tgan o‘qlarga nisbatan 

uning statik momentlari nolga teng bo‘ladi. 

Murakkab tekis kesim og‘irlik markazining koordinatalarini 

quyidagi tartibda aniqlash qulay bo‘ladi: 

1.  Murakkab kesimni bir nechta sodda shakllarga ajratamiz. 

2.  Sodda shakllarning yuzalarini aniqlaymiz. 

3. Ixtiyoriy koordinata sistemasini tanlab olib, sodda shakllar 

og‘irlik markazlarining koordinatalarini va statik momentlarini 

aniqlaymiz. 

4. (3.4)  tenglikdan  foydalanib  olingan koordinata sistemasiga 

nisbatan murakkab tekis kesim og‘irlik markazining koordinatalarini 

aniqlaymiz.