M. M. Mirsaidov, P. J. Matkarimov, A. M. Godovannikov materiallar

3- §. Sodda kesimli shakllarning inersiya momentlari 

 

Tekis kesimli jismning inersiya momentlarini ifodalovchi umumiy 

geometrik xarakteristikalar  III-bobning 1-§ da keltirilgan bo‘lib,  ular 

 

---

 

79

)

5

.

3

(

,

,

2

2

F

d

xy

I

F

d

x

I

dF

y

I

F

xy

F

y

F

x

∫

∫

∫

=

=

=

 

dan iborat edi. 

Bu yerda

 I

x

 va 

I

y

 tekis kesimning 

x

 va 

y

 o‘qlariga nisbatan inersiya 

momentlari, 

I

xy

  esa tekis kesimning markazdan qochma inersiya 

momenti deb atalar edi. Inersiya momentlari (

I

x

, 

I

y

) 

musbat qiymatga 

ega, markazdan qochma inersiya momenti (

I

xy

) ning qiymati esa 

o‘qlarning vaziyatiga qarab musbat, manfiy va nol bo‘lishi mumkin. 

 

To‘g‘ri to‘rtburchak. 

Tomonlari

  h

 va 

b

 bo‘lgan to‘g‘ri 

to‘rtburchakning (3.7-rasm) 

x

1

, y

1

 

 koordinata o‘qlariga nisbatan inersiya 

momentlarini hisoblaymiz. 

 

 

3.7-rasm. To‘g‘ri burchakli to‘rtburchakning inersiya momentini    

aniqlash. 

 

To‘rtburchakning 

x

1

 o‘qidan 

y

1 

masofada yotuvchi elementar 

yuzacha 

dF

 ajratamiz. Bu yuzaning 

x

1

 o‘qiga nisbatan  elementar  

inersiya  momenti  

F

d

y

I

d

x

2

1

1

=

 ga teng bo‘ladi. Xuddi shunday 

ordinatasi «

y

1

»

ga teng bo‘lgan

 

qo‘shni yuzachani  qaraydigan bo‘lsak 

uning ham 

x

1

 o‘qiga nisbatan elementar inersiya momenti 

F

d

y

I

d

x

2

1

1

=

 bo‘ladi, ya’ni o‘zgarmaydi. Shunga asosan 

to‘rtburchakdan yuzasi 

dF=bdy

1

 bo‘lgan elementar bo‘lakcha ajratamiz. 

---

 

80

To‘rtburchakning 

x

1

 o‘qiga nisbatan inersiya momenti  

3

3

3

3

1

1

0

2

1

2

1

1

bh

by

y

d

b

y

dF

y

I

h

o

h

F

x

=

=

=

=

∫

∫

             bo‘lib, 

Xuddi shunday 

3

3

3

3

1

1

2

1

2

1

b

h

hx

dx

h

x

dF

x

I

b

o

b

o

F

y

I

=

=

=

=

∫

∫

        bo‘ladi. 

Demak, to‘g‘ri to‘rtburchakning tomonlari orqali o‘tgan o‘qlarga 

nisbatan inersiya momentlari  

3

3

h

b

I

I

x

=

                                                            (3.6) 

3

3

h

b

I

I

y

=

                                                            (3.7) 

bo‘ladi. 

To‘g‘ri to‘rtburchakning og‘irlik markazidan o‘tuvchi (markaziy) 

o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini hisoblaymiz. Ushbu markaziy 

o‘qlarni X

c

, Y

c

 deb belgilaymiz  (3.8-rasm).  

 

 

 

3.8-rasm. To‘g‘ri to‘rtburchakning markaziy o‘qlarga nisbatan inersiya 

momentini aniqlash. 

 

Oldingi misoldagi fikrlash asosida ish yuritib, quyidagi formulani 

olamiz: 

dy 

Y

c

 

X

c

 

b 

h 

y 

y 

0   C 

dF 

dF 

---

 

81

∫

−

−

=

=

=

h

h

h

h

x

bh

y

b

y

d

b

y

I

c

5

,

0

5

,

0

3

5

,

0

5

,

0

3

2

12

3

                   (3.8) 

 

Bu holda faqat integrallash chegarasi o‘zgaradi. 

Xuddi shu kabi 

 

12

3

h

b

I

c

y

=

  bo‘ladi.                                              (3.9) 

 

Bu holda 

 x

c

, y

c

  o‘qlarga nisbatan (3.9-rasm) markazdan qochma 

inersiya momentni topamiz.  

 

 

 

3.9-rasm. To‘g‘ri to‘rtburchakning markaziy o‘qlarga nisbatan 

markazdan qochma inersiya momentini aniqlash. 

 

Misolimizda 

y

c

 simmetriya o‘qi bo‘lganligi sababli, har bir 

x

1

, y

1

 

koordinatali 

dF

1

  

elementar yuzachaga, 

x

2

, y

2

 koordinatali

 dF

2

 elementar 

yuzacha mos keladi, lekin 

y

1

 = y

2

, x

1

 = - x

2 

 

bo‘lgani uchun 

,

0

1

=

+

II

x

x

c

c

I

d

I

d

bo‘ladi. Shunga asosan 

.

0

=

c

c

y

x

I

 

Demak, kesim kamida bitta simmetriya o‘qiga ega bo‘lsa ham 

uning shu o‘qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti nolga 

teng bo‘lar ekan. 

 

Uchburchak. 

Markaziy 

Ox

 o‘qiga nisbatan 

I

x

 – inersiya 

momentini hisoblaymiz. 

Y

c

 

h 

y

1

 

X

c

 

b 

C 

x

1

  x

2

 

dF

1

 

dF

2

 

y

2

 

---

 

82

Bu holda elementar yuzacha 

dy

y

h

h

b

dy

b

dF

y

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⋅

=

3

2

   bo‘ladi. 

b

y

 – uchburchaklar o‘xshashligidan topiladi. 

 

 

3.10-rasm. Teng yonli uchburchakning markaziy o‘qlarga nisbatan 

inersiya momentini aniqlash. 

 

Inersiya momenti 

36

3

2

3

2

3

3

2

3

3

2

2

2

3

2

3

bh

dy

y

hy

h

b

dy

y

h

h

b

y

dF

y

I

h

h

F

x

h

h

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

=

∫

∫

∫

−

−

 

bo‘ladi. 

b 

x

1

 

x 

y y

1

 

dy 

y

h

−

3

2

h 

h

3

1

h

3

2

b

y

 

0 

0

1

 

y (y

1

) 

---

 

83

I

y

 – ham xuddi shunga o‘xshab topiladi. 

Demak, teng yonli uchburchakning markaziy o‘qlariga nisbatan 

inersiya momentlari 

36

3

bh

I

x

=

                                                         (3.10) 

48

3

h

b

I

y

=

   bo‘ladi                                            (3.11) 

Ixtiyoriy uchburchakniki esa 

36

3

h

b

I

x

⋅

=

,   

36

3

b

h

I

ó

⋅

=

 ga teng. 

Uchburchakni 

O

1

x

1

 o‘qiga nisbatan inersiya momenti 

(

(

)

1

1

1

dy

y

h

h

b

dF

−

=

 bo‘lgani uchun) quyidagicha bo‘ladi: 

(

)

12

3

1

1

2

1

1

2

1

1

bh

dy

y

h

y

h

b

dF

y

I

h

o

F

x

=

−

=

=

∫

∫

            (3.12) 

 

Doira. 

Ba’zi hollarda o‘qqa nisbatan simmetrik bo‘lgan tekis 

kesimlarning inersiya momentlarini qutb koordinata sistemasida 

aniqlash qulay bo‘ladi. 

Bunday kesimlarga doira va halqa misol bo‘lishi mumkin. 

Aylana uzunligi 

2

π

r

 ga teng doiradan qalinligi 

d

ρ

 bo‘lgan 

elementar halqa ajratamiz. Bu elementar yuzachamiz  

dF = 2

π

ρ

 

d

ρ

 teng 

bo‘ladi. 

Doiraning qutb inersiya momenti 

2

4

2

2

2

4

4

0

3

0

2

2

r

r

d

d

dF

I

r

r

F

π

π

ρ

ρ

π

ρ

πρ

ρ

ρ

ρ

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

      (3.13) 

bo‘lib, uni diametr orqali ifodalasak 

4

4

1

,

0

32

d

d

I

≈

=

π

ρ

  bo‘ladi   

 

 

 

 

 (3.14) 

Simmetriya shartiga asosan

  I

x

 = I

y

  bo‘lganligi uchun (3.1) 

tenglikdan 

2I

x

=2I

y

= I

ρ

 bo‘lib, doiraning 

x

 va 

y

 o‘qlariga nisbatan 

inersiya momentlari   

4

4

05

,

0

2

32

d

d

I

I

y

x

≈

⋅

=

=

π

 

 

 

bo‘ladi     

(3.15) 

 

---

 

84

 

 

3.11-rasm. Doiraning qutb inersiya momentini aniqlash. 

 

Halqa. 

Tashqi diametri

  d

, ichki diametri 

d

0

 bo‘lgan halqaning 

inersiya momentlarini, diametrlari 

d

 va 

d

0

 

bo‘lgan tashqi va ichki 

doiralarni momentlarining ayirmasi sifatida aniqlash mumkin, ya’ni 

)

16

.

3

(

)

(

1

32

32

32

4

0

4

4

0

4

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

=

−

=

d

d

d

d

d

I

p

π

π

π

 

 

 

3.12-rasm. Halqaning qutb inersiya momentini aniqlash. 

d

o

 

x 

y 

o 

d 

d

ρ

 

ϕ

 

y 

d

ϕ

 

ϕ

 

o 

dF 

d

ρ

 

x 

ρ

 

r 

---

 

85

Agar      

c

d

d

=

0

 desak, u holda 

[

]

(

)

4

4

4

4

1

1

,

0

1

32

c

d

c

d

I

−

≈

−

=

π

ρ

                                      (3.17) 

(

)

4

4

1

05

,

0

c

d

I

I

y

x

−

=

=

                                              (3.18) 

bo‘ladi. 

Hisoblash ishlarini bajarishda sodda shakllarning inersiya 

momentlari keltirib chiqargan formulalarimiz yordamida bajarilsa, 

standart profilli po‘lat prokatlarning inersiya momentlari esa 

sortamentlardan olinadi. 

Ko‘pincha amaliy masalalarni yechishda tekis kesimlarning 

turlicha yo‘naltirilgan o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini 

hisoblashga to‘g‘ri keladi. Shu sababli, tekis kesimli jismning turli 

koordinata o‘qlariga nisbatan inersiya momentlari orasidagi 

bog‘lanishlarini aniqlash muhim hisoblanadi. 

Eng umumiy holda «eski» koordinata sistemasidan «yangi» 

koordinata sistemasiga o‘tishni 2 ta alohida almashtirishlar orqali 

bajarish mumkin, ya’ni koordinata o‘qlarini yangi holatga parallel 

ko‘chirish yoki koordinata sistemasini “eski” sistemaga nisbatan biror 

burchakka burish orqali “yangi” koordinata sistemasiga o‘tish mumkin. 

Bu hollarda inersiya momentlarning qanday o‘zgarishini alohida ko‘rib 

chiqamiz.