3-§. Sferik uchburchak va uning asosiy formulalari. Paralaktik uchburchak, koordinatalarni almashtirish formulalari
S 9-rasm. Sferik uchburchak ferada uchta katta aylananing kesishishidan hosil bo‘lgan uchburchak sferik uchburchak deyiladi. Sferik uchburchak tekis uchburchakdan farq qilib, uning ichki burchaklari yig‘indisi 180º dan katta va 540º dan kichik bo‘ladi. Sferik uchburchak ABC da (rasm) uning tomonlari (a, b, c) va sferik burchaklari (A, B, C) quyida keltirilgan formulalardagidek bog‘lanishda bo‘ladi.
1. Kosinuslar formulasi:
2. Sferik uchburchakning besh elementli formulalari:
3. Sinuslar formulasi:
10-rasm. Sferik uchburchak
Yuqorida keltirilgan formulalar osmon jismlariga doir ko‘plab masalalarni yechishga imkon beradi. Osmon koordinatalarining biridan ikkinchisiga o‘tish paralaktik uchburchak yordamida amalga oshiriladi.
Paralaktik uchburchak deb, uchlari zenitda, olam qutbida va yoritgichda yotgan sferik uchburchakka aytiladi. Sferik uchburchak formulalarini paralaktik uchburchakka tadbiq etib, ma’lum φ geografik kenglama uchun quyidagi koordinatalar almashtirish formulalarini keltirib chiqrish mumkin.
1) Gorizontal koordinatalar (A, h yoki z) dan birinchi ekvatorial koordinatalar (t, δ) ga o‘tish quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi.
2) Ekvatorial koordinatalar (t, δ) dan gorizontal koordinatalar (A, h yoki z) ga o‘tish esa
Formulalar yordamida bajariladi.
Eslatma: yoritgichning ekvatorial koordinatalardan to‘g‘ri chiqishini (α ni) topish uchun bahorgi tengkunlik nuqtasi (ϒ) ning soat burchagi bilan shu yoritgichning to‘g‘ri chiqishi α va soat burchagi t orasidagi bog‘lanishni ifodalovchi tϒ=α+t formuladan foydalaniladi. Bu yerda tϒ=S yulduz vaqti deb yuritiladi. Yoritgichning balandligi esa h+z=90º tenglikdan topiladi, ya’ni
h=90º- z.
Yoritgich botayotgan paytda aniq g‘arbiy nuqtada bo‘lsa, uning soat burchagi va og‘ishi qancha bo‘ladi? Azimuti va zenitdan uzoqligi-chi?
Sferik uchburchakning ikki – b va ctomonlari mos ravishda b=30º, c=45º bo‘lib, A burchagi 60º ga teng. Uning a tomoni va B, C burchaklarini toping.
Suniy yo‘ldosh osmon ekvatorini kesib o‘tayotganda to‘g‘ri chiqishi α1=15º10′ bo‘lib, 10 minut o‘tgach esa α2=45º30′, δ=05º koordinatalarga ega bo‘lgan. Suniy yo‘ldoshning shu 10 minut davomida o‘tgan yo‘lining yoy uzunligini toping. Uning yer atrofida aylanib chiqish davri qanchaga teng?
Soat burchagi t=2h0mva og‘ishi δ=+12º18′ bo‘lgan Regul yulduzi (Asad yulduz turkumining eng yorug‘ yulduzi) ning Toshkent (φ=41º20′) uchun azimuti va balandligini aniqlang.
Katta Ayiq yulduz turkumining eng yorug‘ yulduzi (α si) ning to‘g‘ri chiqishi α=10h59m , og‘ishi δ=+62º10′. Bu yulduz yuqori kulminatsiyada bo‘lganda Samarqanddagi (φ=39º35′) kuzatuvchi uchun matematik gorizontdan qancha balandda bo‘ladi?
Iyun oyining boshlarida, ya’ni Quyoshning og‘ishi 20º bo‘lganda tush paytidan 2 soat o‘tgandan keyin Buxoro uchun (φ=39º45′) Quyoshning zenitdan uzoqligi va azimutini toping.
Koordinatalari ekvatorial sistemada berilgan sferadagi ikki nuqta (α1 δ1 va α2 δ2) orasidagi yoy uzunligini (katta aylana bo‘ylab) topish formulasini aniqlang.
Deneb yulduzi (Oqqush yulduz turkumining eng yorug‘ yulduzi) ning koordinatalari α=20h 40m , δ=45º06′. Bu yulduz Toshkentda (φ=41º20′) bahorgi tengkunlik nuqtasining soat burchagi 18h50m bo‘lganda zenitdan qanday burchak masofada va qanday azimut burchak ostida bo‘ladi?
Andromeda yulduz turkumi β si (α=1h07m, δ=35º21′) ning Tibilis shahri (φ=41º43′) uchun bahorgi tengkunlik nuqtasi yuqori kulminatsiyada bo‘lganda matematik gorizontdan balandligini va azimutini aniqlang.
9-may kuni quyoshning to‘g‘ri chiqishi 45º30′. Ekliptikaning og‘maligini e’tiborga olgan holda (ε=23º27′) Quyoshning og‘ishini toping.
Xiva shihridagi (φ=41º30′) kuzatuvchi uchun 21-matr kuni tush paytidan 2 soat keyin Quyosh markazining balandligi qanday bo‘ladi?
Kuzatish joyining geografik kenglamasi 52º30′. Bu yerda Quyosh o‘zining yuqori kulminatsiyasida bo‘lgandan so‘ng 3 soat-u 40 minut o‘tgach, 33º08′ li balandlikda bo‘ldi. Ayni kuzatish paytida Quyoshning azimuti va og‘ishini aniqlang.
Haqiqiy tush paytidan ikki soat oldin yulduz vaqti 3h15m, Quyosh markazining azimuti esa -30º bo‘lgan. Agar Quyosh markazining og‘ishi 22º bo‘lsa, uning gorizontdan balandligini va to‘g‘ri chiqishini aniqlang.
Meteorning yulduzlar osmoni bo‘ylab o‘tgan yo‘lining boshi va oxiri olam shimoliy qutbidan mos ravishda 90º va 136º19′ masofalarda yotadi. Bu nuqtalardan o‘tuvchi og‘ish aylanalari orasidagi burchak esa 62º20′42″ ga teng. Meteor yo‘lining uzunligini va meteor yo‘lining boshi va oxiridan o‘tuvchi og‘ish aylanalarining meteor yo‘li bilan kesishishidan hosil bo‘lgan burchaklarni graduslarda hisoblab toping.
Ekvatorial koordinatalarni (α va δ) ekliptik koordinatalar (λ va β) ga aylantirishning 3 ta formulasini keltirib chiqaring. Bu formulalarni Quyosh koordinatalariga tadbiq qiling. Ko‘rsatma: chizma chizib, osmon ekvatorining ekliptikaga og‘maligini ε bilan belgilang.
Termizda (φ=37º15′) 22- iyunda yarim kechada to‘g‘ri chiqishi 18h bo‘lib, matematik gorizontda yotuvchi yulduzning og‘ishini va azimutini toping. Chizma chizing.
Ekliptik uzunlamasi 30º va kenglamasi 45º bo‘lgan yulduzning koordinatalarini ikkinchi ekvatorial koordinatalar sistemasida ifodalang
(3.15-masala javobidan foydalaning).
Quyoshning uzunlamasi 71011/,7 ga teng. Uning ekvatorial koordinatalarini toping (=23027/,2).
Kometa =81048/,7, =68028/ ekvatorial koordinatalarga ega. Uning ekliptik koordinatalari va larni toping (=23027/26//).
Yoritqichning geliosentrik ekvatorial koordinatalari x, y, z bo‘lsin (x o‘qi bahorgi tengkunlik nuqtasiga yo‘nalgan, y o‘q ekvator tekisligida yotadi). X, Y, Z – markazi Quyosh bo‘lgan to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi bo‘lsin (X o‘qi bahorgi tengkunlik nuqtasiga yo‘nalgan, Y o‘q ekliptika tekisligida yotadi). Ular orasida x=X, y=Ycos - Zsin ; Z=Ysin + Zcos munosabat o‘rinli ekanligini isbotlang, bu erda - ekliptikaning ekvatorga og‘maligi.
