Қўлланма педагогика институтларининг юқори курс студент- лари ва ўрта мактаб физика ўқитувчилари учун фойдалидир

§. Пауль принципи ва ҳолатлар сони

Тажрибалар металлардаги электронларнинг Максвелл — Больцман тақсимотига бўйсунмаслигини кўрсатади. Чунки, бу тажрибаларда олинган натижаларни классик физика асосида тушунтириш мумкин эмас эди. Металлардаги электронлар газ молекулалари қонунларига бўйсунмай, балки квант механикаси қонунлари орқали характерланиши маълум бўлди. Квант механикасига асосан электронлар кристалларда ихтиёрий энергетик ҳолатларда бўлолмай,. улар фақат дискрет энергетик ҳолатларни ҳабул қила олади. Бироқ ҳар бнр энергетик ҳолатда ихтиёрий миқдорда электронлар тура олмайди. Бунда улар Пауль принципига риоя қиладилар.Бу принципга асосан ҳар бир энергепшк ҳолатда фаҳат бшптагина электрон бўлиб, тўртала квант сони бир хил бўлган' иккита ва ундан ортиқ электронларнинг бўлиши мумкин эмас. Электронлар ўз ўҳи атрофида айланма ҳаракат қилиши натижасида ҳаракат миқдори моментига эга бўлади. Квант механикасида бу катталикни спин деб юритилиб, у электрон учун тўртинчи квант сони ҳисобланади. Электроннинг спинини ҳпсобга олсак, Пауль'принципини қуйидагича ҳам таърнфлаш мумкин: ҳар бир энергетик ҳолатда учта квант сони бир хил, лекин спинлари ҳар хил бўлган иккита электрон туриши мумкин. Электроннинг спини фақат га тенг бўлади. Демак, ҳар бир энергетик ҳолатда қарама-қарши томонга қараб айланма ҳаракат қилувчи иккитагйна электрон тура олар экан. Шу сабабли Т = 0 температурада энг г.аст энергетик ҳолатга иккита электрон жойлашиб, қолган электронлар эса юқори энергетик ҳолатларда туришга мажбурдир. Бу прннцип классик физика принципларидан тубдан фарқ қилади.
Агар б.изга ҳрлатлар сони ва шу ҳолатларда элект- ронларнинг бўлиш эҳтимоли маълум бўлса, у ҳолда

электронлар концентрациясини аниқлашимиз мумкин. Биз эндн ҳолатлар сони ни аниқлайлик. Статистик механикада умумлашган координаталар ва умумлашган импульслар орқали фикран (хаёлий) аниқланувчи: 6 N ўлчовли соҳани фазовий соҳа деб юритилади.

Ҳолатлар сони ни фазовий соҳа ҳажми
(4. 7)
тушунчасидан фойдаланиб аниқласак бўлади, бунда с!р_х, с!р_у ва с1р_г лар электрон импульсининг х, у ва г ўқларндаги дифферренциаллари. (4. 7.) дан
<⁴-⁸)
Агар (4.8) ни фазовий соҳадаги битта ҳолатнинг ми- нимал ҳажми га ( — Планк доимийси) бўлсак, ҳолатлар сонини топамиз, яьни

Электронларнинг спинини ҳам ҳисобга олсак, бирлик ҳажмдаги ҳолатлар сони учун ҳуйидаги ифодани оламиз:
(4.9)
Кристалларда электрон мураккаб шароитда ташҳи ва панжаранинг даврий 'потенциал майдонлари таъсирида ҳаракат қилади. Шу туфайли электронни кристалда т* эффектив массага эга бўлган „эркин“ электрон каби ҳаракат қилади деб қараш мумкин. Шунинг учун унинг кристаллдаги энергиясини

кўринишда ёзсак бўлади. Демак, бирлик ҳажмдаги ҳолатлар сони ёки ҳолатлар зичлиги
(4.10)

25- расм. Эркин элен- тронлар учун ҳолатлар зичлигининг энергияг* боғлиқлиги.
формула орқали ифодаланади (25-расм). интервалдаги ҳолатлар сони эса
(4. 11)
га тенг бўлади.
Электроннинг энергияси а бўлган ҳолатда бўлиш эҳтимо лини билан белгилайлик. (Эҳтимоллар назариясига асосан бўлади). У ҳолда, энергияси интервалда ётган бирлик ҳажмдаги электронлар сони
(4.12)
га тенг бўлади. Бундаги Ферми — Дирак тақсимоти функ- циясидир. Шу функциянинг аналитик ифодасини топайлик.

18.