Литература 22 введение математический анализ общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями функций, производной и интеграла

Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
Критерий Коши сходимости несобственных интегралов 1 рода. Пусть ∀A > a ∃ . Для того чтобы несобственный интеграл сходился, необходимо и достаточно, чтобы ∀ε > 0 ∃A такое, что выполнялось неравенство
(3)
Однако на практике вместо критерия Коши более удобны достаточные условия сходимости, к изложению которых мы и приступаем.
Признак сравнения. Пусть 0 ≤ f(x) ≤ g(x) при x ≥ a и функции f(x) и g(x) интегрируемы на любом сегменте [a, b], ∀b > a. Тогда из сходимости интеграла
(4)
следует сходимость интеграла
(5)

а из расходимости (4) следует расходимость (5).

Следствие 1: если при x ≥ a > 0, c = const > 0 и α > 1, то сходится. Если же f (x) > при x ≥ a > 0, c = const > 0 и α ≤ 1, то расходится.
Следствие 2: (признак сравнения в предельной форме). Если f(x) ≥ 0 и g(x) ≥0 при x ≥ a и
(6)
то интегралы (4) и (5) сходятся или расходятся одновременно. Если же k = 0, то из сходимости (4) следует сходимость (5).
Признак сравнения относится к неотрицательным функциям. В этом отношении он аналогичен признаку сравнения для рядов с положительными членами. Для исследования сходимости несобственных интегралов от знакопеременных функций полезен признак Дирихле, аналогичный признаку Дирихле для рядов. Он относится к несобственным интегралам вида
Признак Дирихле. Пусть
1. Функция f(x) непрерывна на [a, +∞) и имеет на этой полупрямой ограниченную первообразную F(x) (т.е. такое, что ∀ x ∈ [a, +∞) справедливо неравенство |F(x)| ≤ M.
2. Функция g(x) не возрастает на [a, +∞), стремится к нулю при x → +∞ (g(x) ↓ 0 при x → +∞) и имеет непрерывную производную на [a, +∞).
Тогда несобственный сходится.
Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов 1 рода
Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл расходится.
Отметим, что если интеграл абсолютно сходится, то он сходится. Это следует из критерия Коши и неравенства . Если правая часть неравенства < ε, то и левая < ε.