Литература 22 введение математический анализ общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями функций, производной и интеграла

равномерно на .
Другими словами, интеграл (1) сходится равномерно на , если выполняется: для любого η > 0 существует ε₀ > 0 такое, что



К равномерно сходящимся интегралам можно применить теорию равномерно сходящихся последовательностей функции, связанную с теорией равномерно сходящихся рядов.
Мы знаем, что если последовательность функций F_n (x) (n=1, 2,…), непрерывных на множестве , сходится равномерно на , то предельная функция F (x) непрерывна на , и тогда
(6)
Мы знаем также, что дополнительно считать, что частные производные существуют и непрерывны на и, кроме того,
,
равномерно на , то функция F (x) имеет производную , равную :

При доказательстве этих свойств не имеет значения тот факт, что n, возрастая, пробегает натуральные числа. Можно считать также, что n = ε стремиться непрерывно к нулю (ε → 0). Поэтому указанные свойства автоматически переносятся на равномерно сходящиеся несобственные интегралы. Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов.
Теорема 1. Если интеграл (1) равномерно сходиться на и функция f (x, y) непрерывна на за исключением точек (x, y⁰), то интеграл (1) есть непрерывная функция от x. При этом

В самом деле, из непрерывности и равномерной сходимости на следует, что F(x) непрерывна на . Далее,



В этой цепи мы воспользовались (во втором равенстве) формулой

верной, потому что F_ε и F непрерывны на G и F_ε → F равномерно на , и (в четвёртом равенстве) формулой (4).
Теорема 2. Если, кроме того, что выполняются условия теоремы 1, известно, что частная производная непрерывна на за исключением точек (x, y⁰), и интеграл

равномерно сходится на , то имеет место равенство

т.е. законно дифференцировать под знаком интеграла.
В самом деле,




Во втором равенстве этой цепи применено свойство: если функция и непрерывны на и обе при ε → 0 равномерно сходятся на соответственно F(x) и ψ(x), то на . В четвёртом равенстве применено свойство (5), верное для любого ε > 0.
4. ВЫЧЕСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Интеграл Эйлера-Пуассона
Рассмотрим Это – несобственный двойной интеграл. Возьмём в качестве исчерпывающей последовательности последовательность кругов Тогда


А теперь возьмём в качестве исчерпывающей последовательности последовательность квадратов Тогда

1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РОДА .

Пусть функция f (x) определена на полупрямой a ≤ x < +∞ и пусть ∀A > a существует определенный интеграл . Независимо от того, существует или нет
(1)

будем называть его несобственным интегралом 1 рода от функции f(x) по полупрямой [a, +∞) и обозначать

(2)
Если указанный предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Геометрический смысл несобственного интеграла 1 рода — площадь бесконечной вправо криволинейной трапеции, взятая со знаком «+» при f(x) > 0 и взятая со знаком «−» при f(x) ≤ 0. Физическая трактовка несобственного интеграла 1 рода: если f(x) — сила, то — работа этой силы по перемещению материальной точки из точки a в +∞. Аналогично определяются несобственные интегралы по полупрямой (−∞, a]; и по всей числовой прямой (−∞,∞):