Limiti va uzluksizligi

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning limiti. Bir o‘zgaruvchili y=f(x) funksiyalar nazariyasida limit tushunchasi muhim ahamiyatga ega ekanligini ko‘rib o‘tgan edik. Shu sababli bu tushunchani ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham kiritish maqsadga muvofiqdir.

6-TA’RIF: Berilgan M₀(x₀,y₀) nuqtaning r radiusli atrofi dеb tekislikdagi

tengsizlikni qanoatlantiradigan M(х,у) nuqtalar to‘plamiga aytiladi.

Ta’rifdan ko‘rinadiki, M₀(x₀,y₀) nuqtaning r radiusli atrofi markazi shu nuqtada joylashgan va radiusi r bo‘lgan ochiq doiradan [uni U_r(x₀,y₀) kabi belgilaymiz] iborat bo‘ladi. Demak, M(x,y) U_r(x₀,y₀) bo‘lishi uchun undan M₀(x₀,y₀) nuqtagacha masofa d(M,M₀)<r shartni qanoatlantirishi kerak.

7-TA’RIF: Biror chekli A soni ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyaning uning argumentlari x→x₀ , y→y₀ ( yoki М(х,у)M₀(x₀,y₀)) bo‘lgandagi limiti deb aytiladi, agar har qanday kichik >0 soni uchun unga bog‘liq shunday r()=r>0 son topilsaki, M₀(x₀,y₀) nuqtaning r=r() radiusli atrofiga tegishli bo‘lgan barcha M(x,y)≠ M₀(x₀,y₀) nuqtalar uchun

tengsizlik bajarilsa.

Ikki o‘zgaruvchili f(x,y) funksiyaning x→x₀ , y→y₀ holdagi limiti

kabi belgilanadi.

Masalan,



.

Ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiya uchun М(х,у)M₀(x₀,y₀) bo‘lganda A limitni mavjud bo‘lishi va uni hisoblash masalasi bir o‘zgaruvchili funksiya holiga nisbatan ancha murakkab bo‘ladi. Bunga sabab shuki to‘g‘ri chiziqda x→x₀ intilish faqat ikki yo‘nalishda, o‘ng va chap tomondan bo‘lishi mumkin. Tekislikda esa М(х,у)M₀(x₀,y₀) intilish cheksiz ko‘p yo‘nalishda amalga oshirilishi mumkin va bularning har birida z=f(x,y) funksiya bir xil A soniga yaqinlashib borishi kerak. Buni bir necha misollarda ko‘ramiz.