Limiti va uzluksizligi

18-TA’RIF: Agar D sohada aniqlangan z=f(x, y) funksiya uchun shunday chekli A (yoki B) soni mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy M(x,y) D nuqtada f(x, y)≤A (yoki f(x, y)≥B) shart bajarilsa, bu funksiya D sohada yuqoridan (yoki quyidan) chegaralangan deb ataladi.

Masalan, f(x, y)=5–x²–y² funksiya yuqoridan A=5, g(x, y)= x²+y² –2

funksiya esa quyidan B=–2 soni bilan chegaralangan.

19-TA’RIF: Agar D sohada aniqlangan z=f(x, y) funksiya bu sohada ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan bo‘lsa, u D sohada chegaralangan funksiya deb ataladi.

Masalan, funksiya o‘zining D{f}={(x,y): x²+y²9} aniqlanish sohasida yuqoridan A=3, quyidan esa B=0 soni bilan chegaralangan. Demak, bu funksiya chegaralangandir.

Yuqoridagi Veyershtrass teoremasidan bevosita quyidagi teorema kelib chiqadi.

5-TEOREMA: Yopiq sohada uzluksiz funksiya shu sohada chegaralangan bo‘ladi.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning navbatdagi xossasini ifodalash uchun quyidagi tushunchani kiritamiz.

20-TA’RIF: Tekislikdagi D sohaning ixtiyoriy ikkita nuqtasini biror uzluksiz chiziq bilan tutashtirish mumkin bo‘lsa, u bog‘lamli soha deyiladi.

Masalan, aylana bilan chegaralangan soha (ochiq yoki yopiq doira) bog‘lamli soha bo‘ladi. Ammo ikkita konsentrik aylana bilan chegaralangan soha (ochiq yoki yopiq holda) bog‘lamli soha emas.

6-TEOREMA (Boltsano – Koshi teoremasi): Agar f (x,y) funksiya yopiq va chegaralangan bog‘lamli D sohada uzluksiz bo‘lib, uning ikkita M₁(x₁, y₁) va M₂(x₂, y₂) nuqtasida qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo‘lsa, u holda bu sohaga tegishli kamida bitta M₀(x₀, y₀) nuqtada berilgan f(x,y) funksiya nol qiymatga ega bo‘ladi .

Masalan, f(x,y)=x²+ y²3 funksiya D={(x,y): x²+ y²4 } yopiq doirada ham manfiy (misol uchun f(1,1)=–1<0), ham musbat (misol uchun f(1.5,1)=0,25>0) qiymatlarni qabul etadi. Bu funksiya D sohaga tegishli bo‘lgan x²+y²=3 aylanadagi har bir nuqtada nol qiymatni qabul etadi.

XULOSA

Bir qator nazariy va amaliy masalalarda uch va undan ortiq o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanishlarni qarashga to‘g‘ri keladi. Shu sababli ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi yaratilgan. Bunda bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun oldin ko‘rilgan tushuncha va natijalar umumlashtiriladi. Masalan, funksiyaning aniqlanish va qiymatlar sohalari, grafigi, limiti, uzluksizligi kabilar shular jumlasiga kiradi. Shu bilan bir qatorda bu nazariyada ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarga xos bo‘lgan tushuncha va natijalar ham qaraladi. Misol sifatida sath chiziqlari, takroriy limit, argumentlar bo‘yicha uzluksizlik kabilarni ko‘rsatish mumkin. Bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun oldin ko‘rilgan Veyershtrass va Koshi-Boltsano teoremalari ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin.

Tayanch iboralar

* Skalyar ko‘paytma * Evklid fazosi * Masofa * Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya * Aniqlanish sohasi * Qiymatlar sohasi * Funksiya grafigi * Sirt tenglamasi * Sath chizig‘i * Funksiya limiti * Takroriy limit * Funksiya uzluksizligi * Funksiyaning argument bo‘yicha uzluksizligi * Ichki nuqta * Chegaraviy nuqta * Ochiq soha * Yopiq soha * Veyershtrass teoremasi * Chegaralangan funksiya * Bog‘lamli soha * Boltsano-Koshi teoremasi * Funksiyaning uzlukliligi

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya tushunchasiga olib keladigan masalalarga misol keltiring.
   
2.