Limiti va uzluksizligi

Yuqori tartibli differensiallar. Endi yuqori tartibli differensiallar tushunchasini kiritamiz. z=f(x,y) funksiya II tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin. Bu holda

to‘la differensial ikki o‘zgaruvchili funksiya sifatida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘ladi. Shu sababli df differensialning d(df)differensiali haqida so‘z yuritish mumkin .

6-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiya df differensialning d(df)differensiali

mavjud bo‘lsa, u funksiyaning II tartibli differensiali deb ataladi va d²f kabi belgilanadi.

Agar z=f(x,y) funksiya II tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, uning II

tartibli differensiali d²f mavjud va uning ta’rifi hamda to‘la differensial formulasiga asosan quyidagi natijani olamiz:

.

Bunda argument differensiallari dx va dy o‘zgarmas son singari qaraldi hamda aralash hosilalar haqidagi teoremadan foydalanildi.

Demak, II tartibli differensial d²f funksiyaning II tartibli hosilalari orqali quyidagicha ifodalanadi:

(16)

I tartibli df differensialni ifodalovchi (13) tenglikdan f “umumiy ko‘paytuvchini” shartli ravishda qavsdan tashqariga chiqarib va tenglikni ikkala tomonini unga “qisqartirib”, ushbu operator belgisiga ega bo‘lamiz:

. (17)

Izoh: Matematik analizda operator atamasi funksiyaga funksiyani mos qo‘yadigan akslantirishni ifodalaydi. (17) operator har bir f funksiyaga uning df to‘la differensialini mos qo‘yadi.

(17) operator orqali II tartibli d²f differensialni hisoblashni ifodalaydigan (16) formulani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

. (18)

Umuman olganda, z=f(x,y) funksiya n-tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, uning n-tartibli differensiali dⁿf mavjud bo‘lib, dⁿf=d(d^n–1f) rekurrent formula orqali aniqlanadi va

(19)

operator formula yordamida hisoblanadi. Nyuton binomi formulasidan (I bob,§3, (5) formula) foydalanib, (19) operatorli tenglikdan n-tartibli dⁿf differensialni

z=f(x,y) funksiyaning n-tartibli hosilalari orqali ifodalovchi ushbu formulaga ega bo‘lamiz:

. (20)

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning n-tartibli dⁿf differensiali bir o‘zgaruvchili funksiyaning n-tartibli differensialiga o‘xshash vazifani bajaradi va ulardan funksiyalarning xususiyatlarini o‘rganishda va turli masalalarni yechishda foydalaniladi.

XULOSA

Oldin ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun limit, uzluksizlik kabi asosiy tushunchalar umumlashtirilgan edi. Endi bu funksiyalar uchun differensial hisobda eng asosiy bo‘lgan hosila va differensial tushunchalari qaraladi. Bunda ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarga xos bo‘lgan xususiy hosila, aralash hosila, xususiy va to‘la differensial kabi yangi tushunchalar ham paydo bo‘ladi. Shuningdek yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient tushunchalari va ularning xossalar qaraladi. Urinma chiziq tushunchasini umumlashtiruvchi urinma tekislik tushunchasi kiritiladi. Kiritilgan tushuncha va olingan natijalarning geometrik talqini beriladi.

Tayanch iboralar

* Xususiy hosilalar * Yo‘nalish bo‘yicha hosila * Gradient * Yuqori tartibli xususiy hosilalar * Aralash hosilalar * Differensiallanuvchi funksiya * Xususiy differensial *To‘la differensial * Differensialning geometrik ma’nosi * Yuqori tartibli differensiallar

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari qanday ta’riflanadi?
   
2. 
   Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari qanday geometrik
   

ma’noga ega?

3. 
   Yo‘nalish bo‘yicha hosila qanday aniqlanadi?
   
4. 
   Gradient nima?
   
5. 
   Gradient qanday xossaga ega?
   
6. 
   Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning II tartibli xususiy hosilalari qanday
   

ta’riflanadi?

7. 
   Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning II tartibli aralash hosilalari deb nimaga
   

aytiladi?

8. 
   Aralash hosilalar haqidagi teoremada nima tasdiqlanadi?
   
9. 
   Qachon ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallanuvchi deyiladi?
   
10. 
    Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning to‘la differensiali nimaga teng?
    
11. 
    Ikki o‘zgaruvchili funksiyani differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti nimadan iborat?
    
12. 
    Qaysi sartda ikki o‘zgaruvchili funksiya uzluksiz bo‘ladi?
    
13. 
    Ikki o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyaning differensiallanuvchiligi haqida nima deyish mumkin?
    
14. 
    To‘la differensial qanday geometrik ma’noga ega?
    
15. 
    Qaysi shartda fazodagi sirtga urinma tekislik mavjud bo‘ladi?
    
16. 
    Fazodagi sirtga urinma tekislik tenglamasi qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
    
17. 
    To‘la differensialning tatbig‘iga doir qanday misol bilasiz?
    
18. 
    Yuqori tartibli differensiallar qanday aniqlanadi?
    
19. 
    Yuqori tartibli differensiallar qanday hisoblanadi?
    

Testlardan namunalar

1. 
   z=f(x,y) funksiyaning x argumenti bo‘yicha xususiy hosilasi qanday aniqlanadi?
   

A) ; B) ;

C) ;

D) ; E) .

2. 
   z=f(x,y) funksiyaning y argumenti bo‘yicha xususiy hosilasi qanday
   

aniqlanadi?

A) ; B) ;

C) ;

D) ; E) .

3. 
   z=x²+y³+xy funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasini toping.
   

A) ; B) ; C) ;

D) ; E) .

4. 
   z=x²+y³+xy funksiyaning y bo‘yicha xususiy hosilasini toping.
   

A) ; B) ; C) ;

D) ; E) .

5. 
   z=f(x,y) funksiya M₀(x₀,y₀) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun qaysi shart talab etilmaydi?
   

A) z=f(x,y) funksiya M₀(x₀,y₀) nuqta va uning biror atrofida aniqlangan;

B) M₀(x₀,y₀) nuqta va uning biror atrofida xususiy hosilalar mavjud;

C) M₀(x₀,y₀) nuqta va uning biror atrofida xususiy hosilalar uzluksiz;

D) M₀(x₀,y₀) nuqta va uning biror atrofida xususiy hosilalar musbat;

E) Keltirilgan barcha shartlar talab etiladi.

6. 
   z=x²+y³+xy funksiyaning dz to‘liq differensialini toping.
   

A) ; B) ;

C) ; D) ;

E) ;
Mustaqil ish topshiriqlari

1. 
   Ushbu ikki o‘zgaruvchili funksiyalarning to‘la differensiallarini toping:
   

a) f(x,y)=xⁿ ∙n^y+cosnx; b) .

2. 
   To‘la differensial yordamida funksiyaning M(0.05, 0.9) nuqtadagi taqribiy qiymatini hisoblang.
   

3. 
   Berilgan ikki o‘zgaruvchili f(x,y) funksiyalarning II tartibli differensiallarini aniqlang:
   

a) ; b) .