Yagonalik teoremasi

14-Ma’ruza.


YAGONALIK TEOREMASI

Faraz qilaylik f(z) va g(z) funksiyalar D sohada golomorf bo’lsin. Agar bu funksiyalar D sohaga tegishli va xyech bo’lmaganda bitta limit nuqta ga ega bo’lsin E to’plamda bir-biriga teng bo’lsa,u holda f(z) va g(z0 funksiyalar D saxoda aynan bir-biriga teng bo’ladi:

Isbot.
Modamiki, nuqta E to’plamning limit nuqtasi ekan, unda E to’plamga tegishli turli nuqtalardan tuzilgan va ga intiluvchi.
da f(z)=g(z) bo’lgani uchun bo’ladi. Endi f(z) va g(z) funksiyalarni nuqtaning atrofida (bunda nuqtadan gacha bo’lgan masofa ) Teylor qatoriga yoyamiz:
(1)


bo’lganligi sababli k ning biror qiymatidan boshlab keyingi lar doiraga tegishli bo’ladi. Shuning uchun bo’lib, (1) dan
(2)
bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikda da limitga utib bo’lishini topaliz: bu (3) tenglikni etiborga olib (2) ni har ikkala tomonini ga bo’lsak, unda (4) hosil bo’ladi. Keyingi tenglikda da limitga utib (5) bo’lishini topamiz bu (5) tenglikni etiborga olib, (4) ning har ikkala tomonini ga bo’lsak, unda hosil bo’ladi. So’ngra da limitga utib, bo’lishini topamiz bu jarayoni davom etira borib bo’lishini topamiz. Shundan qilib

lar uchun bo’ladi. Demak, doirada f(z)=g(z) bo’ladi. D sohada ixtiyoriy

nuqtani olib, va
nuqtalarni D soha yotuvchi uzluksiz L chiziq bilan birlashtiramiz B doirada L egri chiziq qismida biror nuqtani olamiz so’ngra B da ga intiluvchi ketma-ketlik qaraymiz ravshanki, bo’ladi endi f(z) va g(z) funksiyalarni nuqtaning atrofida (bunda bo’lib, - esa L va chiziqlar orasidagi masofa ) Teylor qatorga yoyamiz:

yuqorida keltirilgan muloxazani takrorlab va demak, doirada f(z)=g(z) bo’lishini topamiz.
nuqtani L chiziq buylab nuqta tamon siljita borib va yana yuqorida keltirilgan muloxazalarni takrorlab bo’lishini topamiz. nkuta D sohaning ixtiyoriy nuqta bo’lganligi sababli, D sohada f(z)=g(z) bo’ladi.