Limiti va uzluksizligi

Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient. Endi z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari tushunchasining bir umumlashmasini kiritamiz. Buning uchun funksiya M(x,y) nuqtaning biror atrofida aniqlangan va bu nuqtadan o‘tuvchi l to‘g‘ri chiziq bo‘yicha yo‘nalish biror e={cosα, cosβ} birlik vektor orqali berilgan bo‘lsin. Bunda cosα, cosβ berilgan e birlik vektorning mos ravishda OX va OY koordinata o‘qlari bilan hosil etgan α va β (β=90⁰–α) burchaklar bilan aniqlanadi va yo‘naltiruvchi kosinuslar deb ataladi. Bu l to‘g‘ri chiziqda yotuvchi va M(x,y) nuqtaning atrofiga tegishli yana bir N(x+∆x,y+∆y) nuqtani qaraymiz. Bunda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi

ayirma orqali ifodalanadi va u funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha orttirmasi deyiladi. Bu yerda MN=∆l belgilash kiritamiz. Bunda N→M desak, ya’ni ∆x→0, ∆y→0 bo‘lsa, unda ∆l→0 bo‘ladi.

2-TA’RIF: Agar ∆l→0 bo‘lganda ∆_lf /∆l nisbat chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati z=f(x,y) funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha hosilasi deb ataladi.

z=f(x,y) funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha hosilasi

kabi belgilanadi va , ta’rifga asosan,

kabi aniqlanadi. ∆l=∆xcosα+ ∆ycosβ tenglikdan foydalanib,

(4)

formula o‘rinli ekanligini keltirib chiqarish mumkin.

Masalan, f(x,y)=x²–y² funksiyaning M(x,y) nuqtadagi α=60⁰ yo‘nalish bo‘yicha hosilasi

formula bilan hisoblanadi. Xususan, M(1,1) nuqtada bu hosilaning qiymati bo‘ladi.

Agar l yo‘nalish biror a={a₁, a₂} vektor orqali berilgan bo‘lsa, unda bu yo‘nalish bo‘yicha hosila

formula bilan hisoblanadi.

Masalan, yuqoridagi funksiyaning M(1,1) nuqtadagi a={4,3} vektor bilan aniqlanadigan l yo‘nalishi bo‘yicha hosilasining qiymatini topamiz:

Agar l sifatida OX (yoki OY) koordinata o‘qining yo‘nalishini olsak , unda

α=0, β=90⁰ (yoki α=90⁰, β=0) bo‘ladi va (4) formuladan

natijalarni olamiz. Demak, z=f(x,y) funksiyaning x yoki y bo‘yicha xususiy hosilalari uning l yo‘nalish bo‘yicha hosilasining xususiy holi bo‘ladi.

3-TA’RIF: z=f(x,y) funksiyaning gradienti deb koordinatalari va xususiy hosilalardan iborat vektorga aytiladi.

z=f(x,y) funksiyaning gradienti odatda gradf kabi belgilanadi. Gradient ma’nosini aniqlash uchun, vektorlarning skalyar ko‘paytmasidan (III bob, §2) foydalanib, l yo‘nalish bo‘yicha hosilaning (4) ifodasini quyidagicha yozib chiqamiz:

.

Bu yerda φ orqali l yo‘nalishni ifodalovchi e birlik vektor bilan gradient vektor orasidagi burchak ifodalangan. Oxirgi tenglikdan ko‘rinadiki, φ=0 bo‘lganda yo‘nalish bo‘yicha hosila berilgan nuqtada o‘zining eng katta qiymatiga erishadi. Demak, berilgan nuqtada z=f(x,y) funksiyaning turli l yo‘nalishlar bo‘yicha hosilasi (o‘zgarish tezligi) bu yo‘nalish gradient bilan ustma-ust tushganda eng katta qiymatiga erishadi va bu qiymat gradient moduliga teng bo‘ladi. Gradient , majoziy qilib aytganda, tog‘ cho‘qqisida olib chiqadigan eng tikka yo‘nalishni ifodalaydi.

Masalan,yuqorida ko‘rilgan f(x,y)=x²–y² funksiyaning M(x,y) nuqtadagi gradienti gradf={2x, –2y} bo‘ladi. Xususan, M(1,1) nuqtada gradf={2, –2} va bu nuqtadagi funksiyaning eng katta o‘zgarish tezligi | gradf |= bo‘ladi.

3. Ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallari va ularning tatbiqlari. Oldin z=f(x,y) funksiyaning aniqlanish sohasidagi biror M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasini eslaymiz (§1, (3) ga qarang):

z=f = f (x +x , y + y )– f (x , y) .