Limiti va uzluksizligi

Masala: Ishlab chiqarish funksiyasi pul birligida ifodalanib, ko‘rinishga ega. Bunda x–I xomashyo , y–II xomashyo birliklari miqdorini ifodalaydi. I xomashyo bir birligining qiymati – 5, II xomashyoniki esa –10 pul birligiga teng. Bu xomashyolarga 600 pul birligi hajmida xarajat qilishimiz mumkin. Bu shartda olinadigan foyda maksimal qiymatga erishishi uchun har bir xomashyodan qancha miqdor olinishi kerakligini aniqlang.

Yechish: Oldin bu masala qaralganda xomashyoga xarajatlar chegaralangan emas edi. Endi esa olinadigan foydani ifodalovchi ushbu

F(x,y)= f(x,y)– g(x,y)=30x^1/2y^1/3–5x–10y

ikki o‘zgaruvchili funksiyani 5x+10y=600 yoki x+2y=120 bog‘lanish tenglamasi bo‘lgan holda shartli ekstremumga tekshirishimiz kerak. Bu holda x=120–2y tenglik o‘rinli bo‘lgani uchun foyda funksiyasi

ko‘rinishga kelib, bir o‘zgaruvchili H(y) funksiyaga aylanadi. Bu funksiyani ekstremumga tekshirish uchun dastlab kritik nuqtani topamiz:

.

Demak, H(y) funksiya uchun y₀=24 kritik nuqta bo‘ladi. Bunda H′(y) hosila y<24 holda musbat, y>24 holda esa manfiy ishoraga ega bo‘lganligi uchun H(y) funksiya y₀=24 kritik nuqtada maksimum qiymatga erishadi. Demak, I xomashyodan x₀=72 , II xomashyodan esa y₀=24 birlik ishlatilganda olinadigan foyda maksimal va uning qiymati

pul birligiga teng bo‘ladi.

3.