Limiti va uzluksizligi

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstrеmumlari. Oldingi qismda z=f(x,y) funksiyani ekstremumga tekshirishda uning x va y argumentlari butun D{f} aniqlanish sohasida qaralgan edi. Ammo bir qator masalalarni yechishda x va y argumentlarni faqat ma’lum bir shartni qanoatlantiradigan qiymatlarida funksiya ekstremumini topishga to‘g‘ri keladi.

Masalan, perimetri 2p bo‘lgan barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar orasidan yuzi eng katta bo‘lganini topish masalasini qaraymiz. Agar to‘g‘ri to‘rtburchak tomonlarini x va y deb olsak, bu masala S(x,y)=xy funksiyaning uning argumentlari 2(x+y)=2p yoki x+y=p shartni qanoatlantirganda, ya’ni y=–x+p tenglamali to‘g‘ri chiziqda yotganda, ekstremumini topish masalasiga keladi. Bu masala yechimini quyidagicha topamiz:



.

Shunday qilib, bu masalani yechish uchun x va y argumentlarga qo‘yilgan shartdan foydalanib, ikki o‘zgaruvchili S(x,y) funksiyadan bir o‘zgaruvchili g(x) funksiyaga o‘tdik va uni ekstremumga tekshirdik. Bu yerda g′′(x)=–2<0 bo‘lgani uchun g(x) funksiya topilgan x₀=p/2 kritik nuqtada maksimumga ega bo‘ladi. Demak, perimetri 2p bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar orasida eng katta yuzaga tomonlari x₀=p/2 => y₀=p–p/2=p/2 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak, ya’ni kvadrat erishadi va bu yuza qiymati S=p²/4 bo‘ladi.

Endi ko‘rib o‘tilgan bu masalani umumlashtiramiz. Bizga z=f(x,y) ikki o‘zgaruvchili funksiya berilgan bo‘lib, uning x va y argumentlari D{f} aniqlanish sohasida biror

φ(x,y)=0 (4)

tenglama bilan ifodalanadigan shartni qanoatlantirsin.

5-TA’RIF: z=f(x,y) funksiyaning argumentlari qanoatlantiradigan (4) tenglama bog‘lanish tenglamasi deb ataladi.

6-TA’RIF: Koordinatalari (4) bog‘lanish tenglamasini qanoatlantiruvchi M₀(x₀,y₀) nuqtaning biror atrofidagi koordinatalari (4) shartni qanoatlantiruvchi barcha M(x,y) nuqtalar uchun z=f(x,y) funksiya f(x₀,y₀)≥f(x,y) [f(x₀,y₀)≤f(x,y)] tengsizlikni qanoatlantirsa, unda bu funksiya M₀(x₀,y₀) nuqtada shartli maksimumga (mimnimumga) ega deyiladi va ular birgalikda shartli ekstrеmumlar deb ataladi.

Umumiy holda ham funksiyaning shartli ekstremumini yuqorida ko‘rilgan xususiy masaladagi singari usulda quyidagicha topish mumkin:

1. 
   dastlab (4) bog‘lanish tenglamasidan y=ψ(x) funksiyani topamiz ;
   
2. 
   so‘ngra ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyadan, y=ψ(x) ekanligini hisobga olib, bir o‘zgaruvchili g(x)=f(x,ψ(x)) funksiyaga o‘tamiz;
   
3. 
   Hosil bo‘lgan g(x) funksiyani bizga ma’lum usulda (VIII bob,§5) ekstrеmumga tekshiramiz.
   

Ammo bu usul har doim ham qulay emas, jumladan y=ψ(x) funksiyani topish masalasi murakkab bo‘lishi mumkin. Shu sababli bu masalani Lagranj tomonidan taklif etilgan usulda yechamiz. Buning uchun berilgan z=f(x,y) funksiya va (4) bog‘lanish tenglamasi bo‘yicha

L(x,y,λ)= f(x,y)– λ φ(x,y) (5)

uch o‘zgaruvchili funksiyani hosil qilamiz. Bunda L(x,y,λ)–Lagranj funksiyasi, λ–Lagranj ko‘paytuvchisi deb ataladi. Bu holda quyidagi teorema o‘rinli ekanligini isbotlash mumkin.

3-TEOREMA Agar M₀(x₀,y₀) nuqtada z=f(x,y) funksiya shartli ekstremumga ega bo‘lsa, unda shunday λ₀ soni topiladiki, N(x₀,y₀, λ₀) nuqtada L(x,y,λ) Lagranj funksiyasi ekstremumga (shartsiz) ega bo‘ladi.

Bu teoremadan ko‘rinadiki, z=f(x,y) funksiyaning shartli ekstremumini topish masalasi L(x,y,λ) Lagranj funksiyasini ekstremumga tekshirishga keltiriladi. Bu xulosadan, ekstremumning zaruriy (2) shartiga asosan, quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz:

(6)

Bu sistemani yechib, λ₀, x₀, y₀ ildizlarni topamiz. Unda z=f(x,y) funksiyaning shartli ekstremumlari (6) sistema ildizlari orqali aniqlanadigan M₀(x₀,y₀) nuqtalarda bo‘lishi mumkin.

Misol sifatida, dastlab z=f(x,y)=(x/3)+(y/4) funksiyani x²+y²=1 aylanada shartli ekstremumga tekshiramiz. Qaralayotgan misolda bog‘lanish tenglamasi φ(x,y)= x²+y²–1=0 ko‘rinishda bo‘ladi. Lagrang funksiyasini tuzamiz:

.

Bu funksiyadan foydalanib, (6) tenglamalar sistemasini hosil etamiz va uni yechamiz:

.

Demak, f(x,y) funksiya o‘zining shartli ekstremumlariga λ₀=5/24 bo‘lganda M₁(4/5,3/5) va λ₀=–5/24 bo‘lganda M₂(–4/5, –3/5) nuqtalarda erishishi mumkin. Bu nuqtalarda L(x,y,λ₀) funksiyani ekstremumga tekshiramiz. Bunda

.

Bu yerdan λ₀=±5/24 bo‘lganda ∆>0 ekanligi kelib chiqadi va shu sababli L(x,y, ±5/24) funksiya lokal ekstremumga ega bo‘ladi. Bunda λ₀=5/24 bo‘lganda A=–5/12<0 va shu sababli, 2-teoremaga asosan, M₁(4/5,3/5) nuqtada L(x,y, 5/24) funksiya lokal maksimumga egadir. Unda bu nuqtada qaralayotgan f(x,y) shartli maksimumga ega va uning qiymati f_max=f(4/5, 3/5)=5/12 bo‘ladi.

Xuddi shunday tarzda M₂(–4/5, –3/5) nuqtada f(x,y) shartli minimumga ega va f_min=f(–4/5, –3/5)= –5/12 bo‘lishi ko‘rsatiladi.

Endi yana bir misol sifatida z=f(x,y)=xy funksiyani x²+y²=8 aylanada shartli ekstremumga tekshiramiz. Bunda Lagranj funksiyasi L(x,y,λ)=xy–λ(x²+y²–8) ko‘rinishda bo‘ladi. (6) tenglamalar sistemasini tuzamiz va uni yechamiz:

Demak, berilgan f(x,y)=xy funksiya o‘zining shartli ekstremumlariga

M₁(2,2) , M₂(–2, –2) [λ₀=1/2] va M₃(2,–2) , M₄(–2, 2) [λ₀= –1/2]

nuqtalarda erishishi mumkin. Bu nuqtalarda L(x,y,λ₀) funksiyani ekstremumga tekshiramiz. Bu yerda

va λ₀= ±1/2 holda ∆=0 bo‘ladi. Shu sababli L(x,y,λ₀) funksiyani ekstremumga tekshirish uchun ekstremumning yetarli shartini ifodalovchi 2-teoremadan foydalana olmaymiz. Unda L(x,y,λ₀) funksiyaning ∆L(x,y,λ₀) to‘liq orttirmasiga murojaat etamiz:

∆L(x,y,λ₀)= L(x+∆x,y+∆y,λ₀)– L(x,y,λ₀)=

={( x+∆x) ( y+∆y)– λ₀[( x+∆x)²+( y+∆y)² –8]}–[xy– λ₀( x²+ y² –8]=

= x∆y+ y∆x+ ∆x∆y– λ₀[2x∆x+2y∆y +∆x² +∆y²].

Bu yerdan λ₀=1/2 va x=y holda ∆L(x,x,1/2)=–( ∆x–∆y)²/2≤0 ekanligini ko‘ramiz. Unda, 2-ta’rifga asosan, M₁(2,2) va M₂(–2, –2) nuqtalarda L(x,y,1/2) funksiya maksimumga, qaralayotgan f(x,y)=xy funksiya esa shartli maksimumga ega va uning qiymati f_max=f(±2, ±2)=4 bo‘ladi.

Xuddi shunday tarzda λ₀=–1/2 va x=–y holda ∆L(x, –x, –1/2)=( ∆x+∆y)² /2≥0 ekanligini va M₃(2,–2) va M₄(–2, 2) nuqtalarda f(x,y)=xy funksiya shartli minimumga ega va uning qiymati f_min=f(±2, 2)=–4 ekanligi ko‘rsatiladi.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstremumiga doir quyidagi iqtisodiy mazmunli masalani qaraymiz.