|
x
|
x1
|
x2
|
∙∙∙
|
xi
|
∙∙∙
|
xn
|
y
|
y1
|
y2
|
∙∙∙
|
yi
|
∙∙∙
|
yn
|
Bu tajribaviy ma’lumotlar asosida x va y orasidagi bog‘lanish haqida xulosalar chiqarish uchun dastlab jadvaldagi kuzatuv natijalarining turli tasodifiy xatoliklari (o‘lchash, yaxlitlash, hisoblash xatoliklari va hokazo) ta’siridan iloji boricha qutilishga harakat qilinadi. Bu kuzatuv natijalarini silliqlash deb ataladi. So‘ngra yuqoridagi jadval ko‘rinishda berilgan x va y o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanishni biror y=f(x) funksiya ko‘rinishda analitik ifodalashga harakat qilinadi. Bunday yo‘l bilan tajribaviy ma’lumotlar asosida hosil etilgan y=f(x) formula empirik formula deb ataladi. Ko‘p hollarda empirik formula chiziqli , ya’ni y=ax+b ko‘rinishda deb olinadi. Bunda a va b parametrlarning qiymati noma’lum bo‘lib, ular quyidagi mulohaza asosida tanlanadi. Qaralayotgan y o‘zgaruvchining x=xi (i=1,2,3,∙∙∙, n) bo‘lgandagi yi tajribaviy qiymatlari bilan chiziqli empirik formula bilan aniqlanadigan axi+b nazariy qiymatlari orasidagi tafovutni ifodalovchi ∆i= axi+b– yi ayirmalarni kiritamiz. Bunda barcha kuzatuv natijalarining umumiy tafovutini baholash maqsadida nazariy jihatdan asoslangan, amaliyotda keng qo‘llaniladigan va sodda ko‘rinishga ega bo‘lgan eng kichik kvadratlar usuli deb ataladigan usulda ushbu yig‘indi qaraladi:
. (7)
Eng kichik kvadratlar usulida noma’lum a va b parametrlarning qiymatlari umumiy tafovutni ifodalovchi ikki o‘zgaruvchili S(a,b) funksiya lokal minimumiga erishadigan qilib tanlanadi. Shunday qilib a va b parametrlarni tanlash masalasi ikki o‘zgaruvchili S(a,b) funksiyani ekstremumga tekshirish masalasiga keltirildi. Demak, biz birinchi navbatda S(a,b) funksiyaning kritik nuqtasini topishimiz kerak. Buning uchun xususiy hosilalarni hisoblaymiz:
,
.
Bu yerda yozuvlarni ixchamlash maqsadida quyidagi belgilashlar kiritamiz:
.
Xususiy hosilalarni nolga tenglashtirib va bu belgilashlardan foydalanib, M(a,b) kritik nuqtani topish uchun quyidagi sistemani hosil etamiz:
. (8)
Bu yerda (8) normal tenglamalar sistemasi deyiladi. Bu chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer usulida (III bob, §4) yechamiz. Bu sistemaning asosiy determinantini hisoblaymiz:
. (9)
Ushbu Koshi tengsizligidan
yi=1 (i=1,2,3,∙∙∙, n ) holda ∆>0 ekanligi kelib chiqadi. Demak (8) normal sistema doimo yagona yechimga ega bo‘ladi. Uning yordamchi determinantlarini hisoblaymiz:
. (10)
Bu yerdan (9) va (10) natijalar orqali izlangan a va b parametrlar uchun ushbu formulalarni hosil etamiz:
. (11)
(11) formula bilan topiladigan M(a,b) kritik nuqtada (7) tenglik bilan aniqlanadigan S(a,b) funksiya lokal minimumga ega bo‘lishini ko‘rsatamiz. Bu tasdiq
va A>0 bo‘lgani uchun 2-teoremadan kelib chiqadi.
Izoh: Empirik formula qandaydir y=f(x,a,b,c,∙∙∙) ko‘rinishda izlanganda ham undagi noma’lum a,b,c, ∙∙∙ parametrlar eng kichik kvadratlar usulida yuqorida ko‘rsatilgan tarzda baholanadi.
Misol: Mahsulot uchun talab funksiyasini aniqlash maqsadida yillar davomida uning sotuv hajmi x (ming dona) va narxi y (shartli pul birligida) ustida kuzatuvlar natijalari quyidagi jadval ko‘rinishida berilgan :
-
xi
|
12.2
|
18.6
|
29.2
|
15.7
|
25.4
|
35.2
|
14.7
|
11.1
|
yi
|
29.2
|
30.5
|
29.7
|
31.3
|
30.8
|
29.9
|
27.8
|
27.0
|
Talab funksiyasi chiziqli, ya’ni y=ax+b ko‘rinishda deb olib, kuzatuv natijalari bo‘yicha noma’lum a va b parametrlarning qiymatlarini eng kichik kvadratlar usulida tanlaymiz. (8) normal tenglamalar sistemasini tuzish uchun kerak bo‘ladigan koeffitsiyentlarni hisoblashni quyidagi jadval ko‘rinishida amalga oshiramiz:
-
xi
|
yi
|
xi2
|
xiyi
|
12.2
|
29.2
|
148.84
|
356.24
|
18.6
|
30.5
|
345.96
|
567.30
|
29.2
|
29.7
|
852.64
|
867.24
|
15.7
|
31.3
|
246.49
|
491.41
|
25.4
|
30.8
|
645.16
|
782.32
|
35.2
|
29.9
|
1239.04
|
1052.48
|
14.7
|
27.8
|
216.09
|
408.66
|
11.1
|
27.0
|
123.21
|
299.70
|
|
|
|
|
162.1
|
236.2
|
3817.43
|
4825.35
|
Olingan natijalar bo‘yicha normal tenglamalar sistemasini tuzamiz:
.
Bu sistemani Kramer usulida yechamiz:
.
Demak, izlangan talab funksiyasini y=0.07x+28.03 ko‘rinishda deb hisoblash mumkin. Bu yerda sotuv hajmi x oldidagi koeffitsiyent kichik son ekanligidan bu mahsulotning narxi y muvozanatlashgan, ya’ni sotuv hajmiga qarab keskin o‘zgaruvchi emasligini ko‘ramiz.
XULOSA
Bu paragrafda bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun aniqlangan tushuncha va olingan natijalarni ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarga umumlashtirish davom ettiriladi. Endi ikki o‘zgaruvchili funksiya misolida lokal va global ekstremum tushunchalari, ularning mavjudligining zaruriy va yetarli shartlarini aniqlash, bu ekstremumlarni topish masalalari ko‘rib o‘tiladi. Bu bilan bir qatorda ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarga xos bo‘lgan shartli ekstremum tushunchasi va uni Lagranj usulida topish masalasi qaraladi.
Funksiya ekstremumlarining tatbig‘iga misol sifatida kuzatuv natijalarini eng kichik kvadratlar usulida topiladigan empirik formulalar orqali silliqlash masalasi ko‘rib chiqiladi.
Tayanch iboralar
Do'stlaringiz bilan baham: |
