Лекция 7 Дифференциальные уравнения второго порядка

9.4.3. Решение линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
Вспомним линейное однородное уравнение первого порядка (пример 9.4) , его общее решение . Проверим, можно ли найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка (9.8) в виде , k=const.
Тогда и подставив в (9.8), находим
.
Так как , то
. (9.9)
Следовательно, является решением уравнения (9.8) в том случае, когда k удовлетворяет (является корнем) уравнению (9.9), которое называется характеристическим уравнением.
Как известно, корни квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта, поэтому рассмотрим соответствующие три случая.
I. . Корни характеристического уравнения различны . В этом случае частные решения , условие выполнено. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
Пример 9.8. Решить уравнение .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:
_, , _.
.
Общее решение .
II. Корни характеристического уравнения равны .
Как и ранее . Можно проверить, что является решением уравнения (9.8) и .
Значит, общее решение однородного уравнения в этом случае имеет вид
_.
Пример 9.9. Решить уравнение .
Решение. Вид характеристического уравнения
, , .
Общее решение .
III. . Действительных решений характеристическое уравнение не имеет, но имеет комплексные корни . Определяем числа , тогда и — частные решения уравнения (9.8) и .
Общее решение уравнения имеет вид
.
Пример 9.10. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , , .
Решение. Вид характеристического уравнения
,
, .
и общее решение .
Чтобы определить и , найдем y'.
и, подставив начальные условия в у и y', получим


Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
.