Лекция 7 Дифференциальные уравнения второго порядка

Пример 9.11. Найти частное решение дифференциального уравнения с начальными условиями .
Решение. Решение исходного уравнения разобьем на этапы.
1. Составим и решим характеристическое уравнение .
Общее решение уравнения соответствующего однородного уравнения:
.
2. Подбором находим вид частного решения. Так как , то , то это соответствует случаю 2.2 и

Подставив в исходное уравнение, получаем

Выписываем коэффициенты при одинаковых функциях:

Решая полученную систему, находим: A=-1, B=-3,5 и, следовательно, .
3. Общее решение неоднородного уравнения:
.
4. Для вычисления значений С₁ и С₂ надо найти : . Подставляя начальные условия в y и , получим систему уравнений

Отсюда С₂=3, С₁=-2.
Итак, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:
.
Пример 9.12. Найти общее решение уравнения .
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение
.
Общее решение однородного уравнения . Тогда частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , т.к. . Найдем производные и подставим в исходное уравнение:
, ,
,
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях в правой и левой части уравнения:

, тогда .
Составим общее решение неоднородного уравнения
.
Пример 9.13. Найти частное решение .
Решение. 1. Характеристическое уравнение:
.
Общее решение однородного уравнения:

2. , т.е. . Следовательно, вид частного решения:

Подставляем найденные производные в уравнение:
.
.
Приравниваем коэффициенты при функциях:

и .
3. Общее решение неоднородного уравнения:
.
4. Найдем числовые значения С₁ и С₂:
.
Отсюда

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:
.