Лекция 7 Дифференциальные уравнения второго порядка

Пример 9.14. Продолжим изучение зависимости между ценой p ,спросом d и предложением s.
Согласно модели Вальраса, регулирование цены в условиях конкуренции можно описать с помощью дифференциального уравнения:
p'=α(d-s),
где α>0 — некоторый постоянный множитель. Как изменится цена в условиях нереализованного (хранимого) товара?
Решение. Предположим, что существует тенденция уменьшения цены не только в условиях избыточного предложения, но и при наличии непроданного товара, то есть:
p'=α(d-s)-β .
Последнее выражение суммирует разности между величиной спроса и предложения за предшествующий период.
Тогда в дифференциальной форме:
p''=α(d′-s′)-β(s-d).
Если (см. раздел 1) s=a₀+a₁p, d=b₀+b₁p, то получим следующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
(9.10)
В том случае, когда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и k₁≠k₂, то имеем следующее общее решение однородного уравнения:
.
Предположим, что в начальный момент времени р′=0, р′′=0, тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
.
Следовательно, общее решение уравнения (9.10):
.
ЛИТЕРАТУРА

Для содержательных модулей

1. 
   Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.: Высш.шк., 1981.
   
2. 
   Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.
   

Основная

1. 
   Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.
   
2. 
   Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.: Инфра-М, 1997.
   
3. 
   Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2003.
   
4. 
   Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.
   
5. 
   Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
   
6. 
   Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. — Минск, 1968.
   
7. 
   Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.: Экономическое образование, 1989.
   
8. 
   Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высш.шк., 1974.
   

Сборники задач

1. 
   Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1977.
   
2. 
   Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1977.