Дифференциальным уравнением

---

Дифференциальны
е уравнения
Лагранжа и Клеро
Текущая версия страницы пока 
не проверялась
опытными участниками и может значительно отличаться
от 
версии
, проверенной 26 июня 2016 года; проверки требуют 
3 правки
.
Дифференциальным уравнением
называется соотношение, связывающее
переменную величину
, искомую 
функцию
и её 
производные
, то есть
соотношение вида:
Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных
областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается
взаимосвязь между функцией от переменной и её производными.
Достаточно ли быстро загрузилась эта страница?
Затрудняюсь ответить
Да
Нет
Чтобы узнат ь больше, см. 
полит ику конфиденциальност и
данного опроса.

---

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида
где и — известные функции от , причём считаем, что функция 
отлична от 
. Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным
относительно переменных и .
Такое дифференциальное уравнение приходится решать, как говорят, методом
введения вспомогательного параметра. Найдём его 
общее решение
, введя параметр 
. Тогда уравнение можно записать в виде:
Замечая, что 
 
продифференцируем
обе части этого уравнения по :
Преобразуем его в виде
Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что
оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении 
,
удовлетворяющему условию 
. В самом деле, при любом постоянном
значении , производная 
тождественно обращается в нуль и тогда обе части
уравнения можно приравнять к нулю.
Решение, соответствующее каждому значению 
, то есть, 
, является
линейной функцией от , поскольку производная 
, постоянна только у 
линейных
функций
. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство 
значение 
, то есть
.
Дифференциальное уравнение Лагранжа

---

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении
произвольной постоянной, то оно будет являться 
особым решением
.
Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение 
в виде
и будем считать , как функцию от . Тогда полученное уравнение есть не что иное
как 
линейное дифференциальное уравнение
относительно функции от . Решая его,
найдём
Исключая параметр из уравнений 
и 
найдём общий интеграл уравнения 
в
виде
.
Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида
Такое уравнение носит название уравнения Клеро.
Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда 
. Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра.
Положим 
. Тогда
Продифференцируем это уравнение по , так же, как это делали с уравнением
Лагранжа, замечая, что 
, пишем
Преобразуем его к виду
Дифференциальное уравнение Клеро

---

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим
и
Интегрируя уравнение 
получим 
. Подставим значение в
уравнение 
найдём его общий интеграл
С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство
прямых 
линий
. Если из уравнения 
найдём как функцию от , затем подставим
её в уравнение 
, то получим функцию
Которая, как легко показать, является решением уравнения 
. Действительно, в
силу равенства 
находим
Но поскольку 
, то 
. Поэтому подставляя функцию 
в
уравнение 
, получаем тождество
.
Решение 
не получается из общего интеграла 
ни при каком значении
произвольной постоянной . Это решение — есть особое решение, которое
получается вследствие исключения параметра из уравнений
и 
или, что без разницы, исключением из уравнений
и 

---

Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства
прямых, заданных общим интегралом 
.