Лаборатория2

2-таъриф. Агар сиcтемадаги функциялар суперпозициясидан ќосил бœлган функция яна шу системанинг элементи бœлса, у ќолда бундай системага суперпозицияга нисбатан ёпиš система деб айтилади.
3-таъриф. Суперпозицияга нисбатан ёпиš бœлган ќар šандай мантиš алгебрасининг функциялар системасига функционал ёпиš синф деб айтилади.
Равшанки, маълум бир хил хусусиятга эга бœлган функциялар системаси функционал ёпиš синфни ташкил этади ва, аксинча, маълум функционал ёпиš синфга кирувчи функциялар бир хил хусусиятга эга бœлган функциялардир. Šуйидаги функциялар системаси функционал ёпиš синфларга мисол бœла олади:
а) бир аргументли функциялар;
б) ќамма мантиš алгебрасининг функциялари;
в) - чизиšли функциялар;
г) - œз-œзига иккитарафлама функциялар;
д) - монотон функциялар;
е) - нуль šийматни саšловчи функциялар;
ж) - бир šийматни саšловчи функциялар.
4-таъриф. Бœш синфдан ва мантиš алгебрасининг ќамма функциялари тœпламидан фарš šилувчи функционал ёпиš синфга хусусий функционал ёпиš синф деб айтилади.
Шундай šилиб, функциялар системасининг тœлиšлиги учун бу системада ќар šандай хусусий функционал ёпиš синфга кирмовчи функция топилиши етарли ва зарурдир.
5-таъриф. Œз-œзидан ва мантиš алгебрасининг ќамма функциялари синфи дан фарš šилувчи функционал ёпиš синфларга кирмовчи хусусий функционал ёпиš синфга максимал функционал ёпиš синф деб айтилади.
Мантик алгебрасида ќаммаси бœлиб бешта максимал функционал ёпиš синф мавжуд:
- ноль саšловчи функциялар синфи, - бир саšловчи функциялар синфи, - œз-œзига иккитарафлама функциялар синфи, - чизиšли функциялар синфи.
1.2 Пост теоремаси. функциялар системасининг тœлиšлиги учун бу системада , , , , максимал функционал ёпиš синфларнинг ќар бирига кирмовчи камида битта функция мавжуд бœлиши етарли ва зарур (яъни шунда ва фаšат шундагина тœлиš система бœладики, качонки у , , , , максимал функционал ёпиš синфларнинг бирортасининг хам šисм тœплами бœлмаса).
Исбот. тœлиš система бœлсин, яъни . Фараз šиламизки, максимал функционал ёпиš синфларнинг бирортаси. У ваšтда нинг ёпиšлигини хисобга олиб, ни ёзиш мумкин, яъни . Аммо бундай бœлиши мумкин эмас. Демак, муносабат бажарилмайди.
Теореманинг етарлилигининг исботини œšувчиларга ќавола этамиз.
Натижа. Мантиš алгебрасидаги ќар šандай функционал ёпиš синф , , , , максимал функционал ёпиš синфларнинг бирортасининг šисм тœплами бœлади.
Амалда бирорта системанинг тœлиš ёки тœлиš эмаслигини аниšлаш учун Пост жадвалидан фойдаланадилар. Пост жадвали šуйидаги кœринишда бœлади:

...	...	...	...	...	...

Жадвалнинг хоналарига œша сатрдаги функция функционал ёпиš синфларнинг элементи бœлса “+” ишора, бœлмаса “-” ишораси šœйилади.
система тœлиš функциялар системаси бœлиши учун, теоремага асосан, жадвалнинг ќар бир устунида камида битта “-” ишораси бœлиши етарли ва зарур.
функциялар системаси тœлиš бœлмаслиги учун , , , , максимал функционал ёпиš синфларнинг бирортасининг šисм тœплами бœлиши, яъни Пост жадвалининг бирор устуни тœлиš “+” ишораларидан иборат бœлиши керак.
Функциялар системасининг тœлиšлиги тушунчаси билан синфнинг (тœпламнинг) ёпиђи тушунчаси œзаро бођланган.