Лаборатория2

Исбот. системанинг тœлиšлигини исботлаш учун исталган функцияни системасидаги функциялар суперпозицияси орšали ифодалаш мумкинлигини кœрсатишимиз керак. Бунинг учун аввал функцияни cистемасидаги функциялар орšали ифодалаймиз ( система тœлиš бœлганлиги учун бу процедурани бажариш мумкин). Кейин иккитарафлама šонунга асосан иккитарафлама функциялар суперпозицияси орšали функцияни хосил šиламиз.
Мисол. Куйидаги функциялар системасининг тўлиқ эмаслигини исботлайлик:
а) , ; б) ; в) ;
г) ; д) .
а) га тенг. Демак, { } системасидаги функциялар бир аргументли функциялар бœлади. Бизга маълумки, бир аргументли функцияларнинг суперпозицияси натижасида хосил šилинган функция яна бир аргументли функция бœлади. Натижада, бу системадаги функциялар орšали кœп аргументли функцияларни ифодалаб бœлмайди. Шунинг учун { } тœлиš система эмас.
б) { } системасидаги функцияларнинг иккаласи хам монотондир. Монотон функцияларнинг суперпозицияси орšали ќосил šилинган функция яна монотон бœлишини исбот šилган эдик. Демак, бу иккала функциянинг суперпозицияси орšали монотон бœлмаган функцияларни ифодалаш мумкин эмас ва натижада, { } система тœлиšмас система бœлади.
в) { } cистемасидаги функциялар чизиšли функциялардир. Шунинг учун бу функциялар орšали чизиклимас функцияларни ифодалаб бœлмайди. Демак, { } функциялар системаси тœлиš эмас.
г) { } системасидаги функциялар œз-œзига иккитарафлама функциялардир. Бу функцияларнинг суперпозициясидан ќосил šилинган ќар šандай функция ќам œз-œзига иккитарафлама функция бœлади.
Демак, { } функциялар системаси тœлиš эмас.
д) { } системадаги функцияларнинг ќаммаси монотон функциялар бœлади. Монотон эмас функциялар бу системадаги функциялар орšали ифодаланмайди. Демак, { } система тœлиš эмас.
Шундай šилиб, юšорида келтирилган масала ечимининг анализидан šуйидаги хулоса келиб чиšади.
Берилган функциялар системасининг тœлиš эмаслигини исботлаш учун системадаги функцияларнинг шундай умумий хусусиятини топиш керакки, бу хусусият функциялар суперпозицияси натижасида саšлансин.
Хаšиšатан хам, у вактда бундай хусусиятга эга бœлмаган функцияни системадаги функциялар суперпозицияси орšали ќосил šилиб бœлмайди.
Функцияларнинг бу маълум хусусиятларини текшириш учун одатда функционал ёпиš синфлар тушунчасидан фойдаланадилар.