Kvant o'rasidagi elektronlarni minizo’nalar aro o’ptik otishlar

§3. Уч ўлчовли чексиз чуқур потенциал ўра
Энди уч ўлчовли потенциал ўра масаласини қараймиз. Бунда потенциал энергия функцияси қуйидагича ёзилади


(15)
(15x)


(15y)


(15z)

Шредингер тенгламасини кўриниши қуйидагича

(16)

Агар потенциал энергия функцияси координата ўқлари бўйича йиғинди кўринишда (яъни аддитив) бўлса, у холда тўлқин функцияни ўқлар бўйича кўпайтма кўринишида тасвирлаш мумкин. Шунда ўзгарувчилар ажралиб, хар бир ўқ бўйича мустақил учта тенгламага келтириш мумкин. Демак

(17)
Буни (16) га қўямиз

иккала томонини га бўлсак натижани қуйидагича ёзамиз

Энди тўла энергияни ўқлар бўйича энергиялар йиғиндиси кўринишда ёзамиз

(20)


(21x)


(21y)


(21z)

Бу тенгламаларнинг хар бири юқорида келтирилган бир ўлчовли масалага келади ва ечимлари қуйидагича [ (13), (14) га қаранг ]

(22x)


(22y)


(22z)

Булардан фойдаланиб, тўла тўлқин функция (17) ва тўла энергия (20) ни қуйидагича ёзамиз

(23)


(24)


§4. Бир ўлчовли чекли потенциал ўра
Бу ерда потенциал энергия оператори узлукли функция бўлиб, бутун ўқи бўйича дан гача оралиқда жойлашган. Потенциални учта сохага бўлиб оламиз


(25)

Шредингер тенгламаси (5) ни I,II,III сохалар учун мос холда қуйидагича ёзамиз

(26a)


(26b)


(26c)

Буларни ечимлари (интеграли) мос холда қуйидагича кўринишга эга

(27a)


(27b)


(27c)

Шредингер тенгламаси иккинчи тартибли дифференциал тенглама бўлиб, уни интеграллашда иккита доимий пайдо бўлади. Аслида (27a) ечимни тўла кўриниши бўлиш керак эди. Бироқ тўлқин функция узлуксиз ва чекли бўлиши лозим. Шу боис, сохадаги қийматларда хад чексизга интилиши сабабли бу хадни ташлаб юбориш

керак, яъни деб олдик. Худди шунингдек, (27c) ечимда хадни ташлаб юборилди: .
Интеграллаш доимийлари хамда зарра энергияси топилиш зарур. Хаммаси бўлиб бешта номаълум мавжуд экан. Буларни топиш учун бешта қўшимча шарт (тенглама) керак. Биттаси нормаллаштириш шарти, уни қуйидагича ёзамиз
(28)

Қолган тўртта тенглама – чегаравий шартлардан иборат: I ва II сохадаги тўлқин функцияларни хамда уларнинг биринчи хосилаларини нуқтада тенглик шарти, худди шунингдек II ва III сохадаги тўлқин функцияларни хамда уларнинг биринчи хосилаларини нуқтада тенглик шарти:

(29a)
(29b)
Тўлқин функция узлуксиз бўлиши лозим, яъни ва нуқталарда узилмаслик керак, шунинг учун (29a) тенгликлар – узлуксизлик шарти деб хам аталади. Биринчи хосилаларини тенглик шарти (29b) эса, ва нуқталарда тўлқин функцияларни синмай ўтиши лозимлигини билдиради.

Ечимлар (27a,b,c) ни (29) шартларга қўйиб, тўртта тенглама олами з, нормаллаштириш тенглиги (28) билан жаъми бешта тенглама масаладаги барча бешта , номаълумларни топишга етарли. Қуйида биз энергияни хисоблаш билан чекланамиз.

(27a,b,c) ни (29) шартларга қўйиб, тўртта тенглама олиб, бу тенгламалар нисбатлари , га нисбатан қуйидаги иккита тенгламани беради


(30)
ёки
(31)

Булардан ни йўқотиб, хамда тригонометрик функцияларни даврийлигини хисобга олиб қуйидагини олиш мумкин (Ландау Лифшиц)

(32)

(26) даги хамда (30) даги ифодаларидан фойдаланиб, энергия учун қуйидаги трансендент тенгламага келамиз

(33)

Электронни массаси , ўра кенглиги ва чуқурлиги берилса (33) тенгламадан энергиянинг дискрет қийматларини график усулда ёки сонли усулда (масалан, Maple да) хисоблаб топиш мумкин.

Тахлил қилишда энергия бирлиги сифатида ни олсак (33) ни сатх учун қуйидагича ёзиш мумкин

Буни функция деб қараб, нуқта атрофида қаторга ёйиб иккита хад билан чегараланамиз

ёки
.

Дастлабки бирликларга қайтсак (Ландау Лифшиц)

Демак, ўра чуқурлигини ихтиёрий кичик қийматларида хам , яъни битта сатх доим мавжуд. Бошқача айтганда: бир ўлчовли масалада ихтиёрий саёз чуқурликда хам заррача боғланиб қолади.