Kvant o'rasidagi elektronlarni minizo’nalar aro o’ptik otishlar

§2. Бир ўлчовли чексиз чуқур потенциал ўра

Икки томони чексиз баланд тўсиқ билан чегараланган потенциал ўрадаги (бир ўлчовли харакат) заррани харакатини қарайлик. Бу масала учун Шредингер тенгламаси қуйидагича ёзилади

(5)

Бу ерда потенциал энергия оператори узлукли функция бўлиб қуйидагича ёзилади

(6)



Заррача фақат ўра ичида харакатланади. Ўра ичида эса (6) га асосан потенциал энергия нолга тенг. Шу сабабли ўра ичида (5) тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз
(7)

Бунинг қаноатлантирувчи ечим

(8)

Бу ерда ва ихтиёрий ўзгармаслар, ноаниқ интеграллаш доимийлари. (8) ечим қаноатлантириш лозим бўлган иккита чегаравий шарт

(9)

қуйидагиларни беради

(10)

Бу ерда физик маънога эга бўлмаган ечимлар ташлаб юборилди. Демак (8) энди

(11)
Иккита чегаравий шартдан фойдаланиб бўлдик, яна битта номаълум - қолди. Буни топиш учун бизда яна нормаллаштириш шарти бор. Ушбу масала учун у қуйидагича ёзилади


(12)

Интегрални хисоблайлик

Бундан . Демак, якуний тўлқин функция кўриниши

(13)

Ўра ичида заррачани энергиясини қабул қилиш мумкин бўлган қийматлари дискрет бўлиб, у қуйидагига тенг

(14)

Ихтиёрий кетма кет иккита сатх орасидаги фарқ (14) дан

Агар бунга электрон массаси ни қўйиб, деб (бу мисолни металлдаги эркин электронлар дейиш мумкин) хисобласак

сатхлар ўта қуюқ, яъни туташ спектр дейиш мумкин. Агар ўра кенглигин атомлар размерида деб олинса,

дискретлик кучли намоён бўлади.