Kvant o'rasidagi elektronlarni minizo’nalar aro o’ptik otishlar

§5. Уч ўлчовли чекли потенциал ўра
Потенциал энергия функцияси қуйидагича ёзилади


(34)

ва у ўзгарувчилар бўйича (15) каби аддиттив бўлгани учун тўла тўлқин функция ўқлар бўйича тўлқин функциялар кўпайтмаси (17) кўринишда тасвирласак ўзгарувчиларни ажратиш мумкин. (34) даги хар бир ўқ бўйича потенциал энергия кўриниши (25) каби ёзиш мумкин, масалан

Натижада тўла энергия учун қуйидагини топиш мумкин

(35)


(35x)


(35y)


(35z)
Агар, десак, бўлиб, (35) дан чексиз чуқур уч ўлчовли ўра учун (24) формула келиб чиқади.
Энди уч ўлчовли ўра чуқурлиги қандай бўлганда битта сатх мавжуд бўла олади деган масалани тахлил қиламиз. Бунинг учун, соддалаштириш мақсадида ўрани куб шакда деб оламиз. У холда (35) дан


(36)

Энергия бирлиги сифатида ни олсак (35x) дан

(37)

Бу ердан, ёки десак, ни топамиз.

Демак, ўрада камида битта сатх мавжуд бўла олиши учун ўра чуқурлиги
(38)


шартни қаноатлантириш керак экан, акс холда ўра заррачани тута олмайди.
§6. Бир ўлчовли гармоник осциллятор
Силжишга қарама қарши куч (Гук) таъсирида классик заррача гармоник тебранма харакат қилади. Буни гармоник осциллятор деб аташади. Классик харакат тенгламаси

Шредингер тенгламаси

(39)

Гармоник осцилляторни характерли ўлчами катталик бўлиб, уни узунлик бирлиги сифатида ишлатилади

(40)

У холда (39) қуйидагича ёзилади

(41)

Бу тенгламанинг ечими ( хусусий функциялар ва хусусий қийматлар - , ёки тўлқин функциялари ва унга мос энергиянинг дискрет қийматлари ) аналитик холда топилган. Улар қуйидагича

(42)


(43)


(44)


функцияни - Эрмит полиномлари деб аталади. Дастлабки бирликларда (42-44) қуйидагича ёзилади


(45)
(46)
(47)
(48)