Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish

f  2x₁x₂  2x₁x₃  2x₁x₄  2x₂ x₃  2x₂ x₄  2x₃x_{4 .}
kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltiruvchi xosmas almashtirishni toping.
Yechish. ^{0 1} boʻlsin. U holda quyidagi sistemani hosil qilamiz:
_x₁  x₂  x₃  x₄  0,
^x  x  x  x  0,
^ 1 2 3 4

^x  x  x  x
 0,

_ 1 2 3 4
^_x₁  x₂  x₃  x₄  0.
Bu sistemaning rangi 1 ga teng. Demak, uning 3 ta chiziqli erkli yechimini topish mumkin. Masalan:
b₁  (1,1,0,0),
b₂  (1,0,1,0),
b₃  (1,0,0,1)
vektorlar sistemaning chiziqli erkli yechimlari boʻladi.
Bu vektorlar sistemasini ortogonallab, quyidagi
c₁  b₁  (1,1,0,0),



c   ¹ c  b  ^{ 1} ,  ¹ ,1,0 ^,
2 ₂ 1 2  _{2 2} 
 
c  ¹ c  ¹ c  b  ^  ^{1 1 1 }

3 ₃ 1 ₃ 2 3 
, , ,1_

vektorlar sistemasini hosil qilamiz.

_ 3 3 3 _

^{0  3} boʻlsin. U holda quyidagi sistemaga ega boʻlamiz:
_3x₁  x₂  x₃  x₄  0,
^x  3x  x  x  0,
^ 1 2 3 4

^x  x  3x  x
 0,

_ 1 2 3 4

^_x₁  x₂  x₃  3x₄  0.
Bu sistemaning rangi 3 ga teng. Uning noldan farqli yechimi


c₄  (1,1,1,1)

koʻrinishda boʻladi. normalashtirib
c₁ , c₂ ,
c₃ , c₄
vektorlar orthogonal sistemani tashkil etadi. Uni

c ^  ^
1 _, ¹ 

_{1 } ,0,0 _,
 

c ^  ^
1 _{, } 1 _, 2 ^

_{2  3} ,0 _,
 


_{c } 1 1 1 3 ^

₃  _ 
, , , _,
2

_ 2 2 2 _

 




c ^  ^{ 1} ,  ¹ ,  ¹ , ^{1 
4 } 2 2 2 2 ^
ortonormalangan vektorlar sistemasini hosil qilamiz. Shunday qilib, ^f ni kanonik koʻrinishga keltiruvchi almashtirishlardan biri
^ y  ¹ x  ¹ x ,
_ 1 1 2

^ y  ¹ x  ¹ x  ² x ,
_ 2 1 2 ₃ 3

^ y   ¹ x  ¹ x  ¹ x  ³ x ,

2
_ 3 1 2 3 4





^ y  ¹ x  ¹ x  ¹ x  ¹ x
_ 4 ₂ 1 ₂ 2 ₂ 3 ₂ 4

koʻrinishda boʻladi.
Mashqni bajaring.


f  2x₁x₂  2x₁x₃  2x₁x₄  4x₂ x₃  4x₂ x₄  4x₃x₄
kvadratik

formani kanonik koʻrinishga keltiruvchi xosmas almashtirishni toping.

Agar kvadratik formaning kanonik koʻrinishida
b₁  b₂  ...  b_n 1
boʻlsa, u

holda bu formani kvadratik formaning normal koʻrinishi deyiladi.
Agar haqiqiy kvadratik forma qaralayotgan boʻlsa, uni normal koʻrinishga keltirish masalasi anchagina murakkab masalalardan biri hisoblanadi. Chunki bunda manfiy sondan kvadrat ildiz chiqarish talab qilinishi mumkin.
Teorema. Berilgan haqiqiy koeffitsiyentli kvadratik formaning haqiqiy xosmas chiziqli almashtirish yordamida hosil qilingan normal koʻrinishdagi musbat kvadratlar soni va manfiy kvadratlar soni bu almashtirishning tanlab olinishiga boʻg‘liq emas.
Berilgan ^f kvadratik formaning keltirilgan kanonik koʻrinishidagi musbat ishorali kvadratlar soni bu forma inersiyasining musbat indeksi, deb manfiy ishorali kvadratlar soni esa inersiyaning manfiy indeksi, deb musbat va manfiy indekslar ayirmasi esa ^f kvadratik formaning signaturasi deb ataladi.
Bu tushunchalardan foydalanib quyidagi teoremani keltirish mumkin.

Teorema. ⁿ ta noma’lumning haqiqiy koeffitsiyentli ikkita kvadratik formasi bir xil rangga va bir xil signaturaga ega boʻlgandagina va faqat shundagina, ular xosmas chiziqli almashtirish orqali bir-biriga oʻtkaziladi.
Teorema. Agarda (4) kvadratik formada oʻzgaruvchining kvadrati ishtirok etmasa, u holda chiziqli almashtirish yordamida uni hech boʻlmaganda bitta oʻzgaruvchining kvadrati qatnashgan kvadratik formaga keltirish mumkin.
Kvadratik formalarni oʻrganishda ularning kanonik koʻrinishlarini klassifikatsiyaga ajratib oʻrganish kerak boʻladi.
Biz quyida ularning bir necha turlarini keltirib oʻtamiz.

2. 
   ta’rif. Agar ⁿ ta noma’lumning haqiqiy koeffitsiyentli ^f kvadratik formani ⁿ ta musbat kvadratdan iborat normal koʻrinishga keltirilsa, u holda bu forma musbat aniqlangan deyiladi.
   
3. 
   ta’rif. Agar ⁿ ta noma’lumning haqiqiy koeffitsiyentli ^f kvadratik formasi ⁿ ta manfiy kvadratdan iborat normal koʻrinishga keltirilsa, u holda bu forma manfiy aniqlangan deyiladi.
   
4. 
   ta’rif. Agar haqiqiy koeffitsiyentli ^f kvadratik formaning normal koʻrinishida ham musbat, ham manfiy kvadratlardan iborat boʻlsa, u holda bu forma ishorasi aniqlanmagan forma deyiladi.
   
5. 
   ta’rif. Agar haqiqiy koeffitsiyentli ^f xos kvadratik formalarning normal koʻrinishi bir xil ishorali kvadratlardan iborat boʻlsa, u holda bu forma ishorasi yarim aniqlangan formalar deyiladi.
   

Masalan,

1 1 2 3 1 2 3
_1.  (x , x , x )  x²  x²  x²
kvadratik forma musbat aniqlangan;

2 1 2 3 1 2 3
2. ^
(x , x , x )  x²  x²  x²
kvadratik forma manfiy aniqlangan;

3 1 2 3 1 2 3
_3.  (x , x , x )  x²  x²  x²
kvadratik formaning ishorasi aniqlanmagan;

4. ^
(x , x , x , x )  x²  x²  x²
kvadratik formaning ishorasi yarim aniqlangan.

4 1 2 3 4 1 2 3
Amaliyotda va iqtisodiyotda eng koʻp uchraydigan kvadratik formalar ishorasi aniqlangan kvadratik formalar boʻlganligi sababli biz asosiy e’tiborni ishorasi aniqlangan kvadratik formalarga beramiz.
Koeffitsiyentlar boʻyicha formaning musbat aniqlangan ekanligini bilish uchun quyidagi tushunchalarni kiritamiz.

ⁿ ta noma’lumning matritsasi
A  (a_ij )
boʻlgan ^f kvadratik forma berilgan

boʻlsin. Bu matritsaning yuqori chap burchagiga joylashgan ^{1, 2,..., n } tartibli minorlari, ya’ni

11
_{a ,} ^a11


^a12 , ...,
^a11 ^a21
^a12 ^a22
...
...
^a1n ^a2n

^a21 ^a22
... ... ... ...

^an1
^an2
...
^ann

minorlari ^f kvadratik formaning ( ^{A  (aij )} matritsaning) bosh minorlari deyiladi.

Teorema. ⁿ ta
x₁, x₂ ,..., x_n
noma’lumlarning haqiqiy koeffitsiyentli
f (x)

kvadratik formasiuning bosh minorlari qat’iy musbat boʻlganda va faqat shundagina, musbat aniqlangan boʻladi.

11
Bu teoremani matematik induksiya metodidan foydalanib isbotlash mumkin.

Isbot.
aniqlangan.
n  1
boʻlganda
^{f  a x}2 . Bu forma
^{a11  0} boʻlgandagina musbat

Teoremani
n  1
ta noma’lum uchun isbotlangan, deb faraz qilamiz va ⁿ ta

noma’lum uchun isbotlaymiz.
Koeffitsiyentlari haqiqiy


f (x)

kvadratik forma berilgan boʻlib, uning matritsasi

A  (a_ij )
boʻlsin. Ma’lumki, agar
^{f (x)} kvadratik forma ustida matritsasi ^Q boʻlgan

xosmas chiziqli almashtirish bajarilsa, u holda forma determinantining ishorasi oʻzgarmaydi.

Haqiqatan ham, almashtirishdan soʻng matritsasi forma hosil boʻladi. Bu yerda
^QT ^AQ boʻlgan kvadratik

Q^T  Q  Q^T AQ  Q^T
n n
A Q 
A Q ²
.

^{f  a}ij ^xi ^x j

Endi